চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ ও PR দুইটি স্পর্শক এবং OR = RS.
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট RQS বৃত্তে QS একটি ব্যাস এবং ∠QRS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠QRS = 1 সমকোণ।
প্রমাণ:
ধাপ ১: SQ চাপের ওপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠QRS = (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ ∠QOS) [বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ ২: কিন্তু সরলকোণ ∠QOS = 2 সমকোণ
অর্থাৎ ∠QRS = সমকোণ
∠QRS = 1 সমকোণ। (প্রমাণিত)
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট QRST বৃত্তে RS উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠RTS এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROS।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠RTS = ∠ROS।
অঙ্কন: T এবং O কে যোগ করে M পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১: △ TRM এর বহিস্থ কোণ ∠ROM = ∠RTO + ∠ORT
ধাপ ২: △ TRM এ OT = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধী]
অতএব, ∠OTR = ∠ORT [ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
ধাপ ৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই ∠ROM = 2∠OTR
ধাপ ৪: একইভাবে △ OTS থেকে পাই ∠SOM = 2∠OTS
ধাপ ৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই,
∠ROM + ∠SOM = 2∠OTR + 2∠OTS
বা, ∠ROS = 2(∠OTR + ∠OTS) [∠ROM + ∠SOM = ∠ROS]
বা, ∠ROS = 2∠RTS [ ∠OTR + ∠OTS = ∠RTS]
∠RTS = ∠ROS. (প্রমাণিত)
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট RSTQ বৃত্তের PQ ও PR দুইটি স্পর্শক এবং OR = RS । প্রমাণ করতে হবে যে, △PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ:
ধাপ ১: △ ORS-এ
OR = RS [দেওয়া আছে]
OR = OS [একই বৃত্তের ব্যাসাধ]
OR = RS = OS
অর্থাৎ △ ORS একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∠ORS = ∠ROS = ∠OSR = 60° [সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ 60°]
ধাপ ২: ∠QOS = 180° [এক সরলকোণ]
∠ROQ = 180° - ∠ROS
বা, ∠ROQ = 180° - 60°
∠ROQ = 120°
ধাপ ৩: PQ ও PR যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে স্পর্শক বলে
OQ ও OR স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
OQ PQ এবং OR PR
∠PQO= ∠PRO = 90°
∠PQO+ ∠PRO = 90° + 90° = 180°
এখন, PQOR চতুর্ভুজে,
∠RPQ+ ∠PQO+ ∠PRO+ ∠ROQ = 360° [চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°]
বা, ∠RPQ + 90° + 90° + 120° = 360°
বা, ∠RPQ = 360°- 300°
∠RPQ = 60°
ধাপ ৪: আবার, △ PQR-এ PQ = PR [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান]
∠PQR = ∠PRQ
এখন, ∠RPQ+ ∠PQR+ ∠PRQ = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
বা, 60° + ∠PQR+ ∠PQR = 180° [∠PQR = ∠PRQ]
বা, 2 ∠PQR = 180° - 60°
বা, 2∠PQR = 120°
∠PQR = 60°
∠PRQ = ∠PQR = 60°
অর্থাৎ, △ PQR-এ
∠RPQ= ∠PQR= ∠PRQ = 60°
PQ = QR = PR
অতএব, △ PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allবৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত APB ও AQB দুইটি চাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির ছোট অংশকে বৃত্তটির উপচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB চাপ হচ্ছে উপচাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির বড় অংশকে বৃত্তটির অধিচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AQB চাপ হচ্ছে অধিচাপ।
একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি-
১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়
২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং
৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে।
চিত্রে প্রদর্শিত ∠AOB কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করলে দেখা যায় দুইটি অংশের একটি ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড়। ছোট অংশটিকে উপচাপ এবং বড়টিকে অধিচাপ বলে।
এখানে, বৃত্তচাপ CDE < বৃত্তচাপ CBD. অর্থাৎ CDE চাপটি CBD চাপের চেয়ে ছোট। সুতরাং, CDE হলো উপচাপ।
বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।
একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খন্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।
চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
