চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC = জ্যা BC.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি.
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ ও সে.মি.।
মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB ও AC জ্যা কেন্দ্রগামী নয়। BC উপচাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOC = 2∠BAC
অঙ্কন : A বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ AD আঁকি।
প্রমাণ:
ধাপ ১: Δ ΑΟΒ এর বহিঃস্থ ∠BOD = ∠BAO + ∠ABO [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি সমান]
ধাপ ২: Δ ΑΟΒ এ OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠BAO = ∠ABO [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ ৩ : ∠BOD = ∠BAO + ∠BAO = 2∠BAO
ধাপ ৪ : অনুরূপভাবে ∆AOC হতে, ∠COD = 2∠CAO
ধাপ ৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে
∠BOD + ∠COD = 2∠BAO + 2∠CAO
বা, ∠BOC = 2(∠BAO + ∠CAO)
∠BOC = 2∠BAC (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB, AC ও BC তিনটি সমান জ্যা। D, E ও F যথাক্রমে AB, AC ও BC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, D, E, F বিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
অঙ্কন: O, D ; O, E এবং O, F যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১ : D, AB এর মধ্যবিন্দু
OD AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]
ধাপ ২: অনুরূপভাবে, OE AC এবং OF BC
OD = OE = OF [বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী]
ধাপ ৩: কেন্দ্র থেকে AB, AC ও BC জ্যাত্রয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে OD, OE ও OF এবং জ্যা AB = জ্যা AC জা BC।
ধাপ ৪: O কে কেন্দ্র করে OD বা OE বা OF এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা D, E ও F বিন্দু দিয়ে যাবে ।
D, E ও F বিন্দুগুলো সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allবৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত APB ও AQB দুইটি চাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির ছোট অংশকে বৃত্তটির উপচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB চাপ হচ্ছে উপচাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির বড় অংশকে বৃত্তটির অধিচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AQB চাপ হচ্ছে অধিচাপ।
একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি-
১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়
২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং
৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে।
চিত্রে প্রদর্শিত ∠AOB কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করলে দেখা যায় দুইটি অংশের একটি ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড়। ছোট অংশটিকে উপচাপ এবং বড়টিকে অধিচাপ বলে।
এখানে, বৃত্তচাপ CDE < বৃত্তচাপ CBD. অর্থাৎ CDE চাপটি CBD চাপের চেয়ে ছোট। সুতরাং, CDE হলো উপচাপ।
বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।
একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খন্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।
চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
