চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং OB = 2.5 সে.মি.
এখানে, Oকেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r= OB = 2.5 সে.মি.
বৃত্তটির দৈর্ঘ্য = বৃত্তটির পরিধি
সে.মি.
ABCD বৃত্তটির দৈর্ঘ্য 15.708 সে.মি.।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD একটি বৃত্ত এবং তার একই উপচাপ BCD এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠BAD এবং কেন্দ্রস্থ ∠BOD.
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAD = ∠BOD
অঙ্কন: মনে করি, AD রেখাংশ কেন্দ্রগামী নয়। এক্ষেত্রে A বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ AP আঁকি।
প্রমাণ :
ধাপ ১. △ AOB এর বহিঃস্থ কোণ
∠BOP = ∠BAO + ∠ABO [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ ২. △ AOB-এ OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অতএব, ∠BAO = ∠ABO [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ ৩. ∠BOP = 2∠BAO [ধাপ (১) ও (২) হতে]
ধাপ ৪. একইভাবে △ AOC থেকে ∠DOP = 2∠DAO
ধাপ ৫. ∠BOP + ∠DOP = 2∠BAO + 2∠DAO [ধাপ (৩) ও (৪) হতে]
অর্থাৎ, ∠BOD = 2∠BAD
∠BAD = ∠BOD. (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিস্ট ABCD বৃত্তে AC ও BD জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। O, A এবং O, C যোগ করি।
AB ও CD চাপদ্বয় কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠AOB ও ∠CQD কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠AOB + ∠COD = 2∠AEB.
প্রমাণ:
ধাপ ১. AB চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ ∠ADB [একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
সুতরাং ∠AOB = 2∠ADB = 2∠ADE
ধাপ ২. আবার, CD চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠COD এবং বৃত্তস্থ ∠CAD [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
সুতরাং ∠COD = 2∠CAD = 2∠EAD
ধাপ ৩. কিন্তু △ADE-এর অন্তঃস্থ (∠EAD+ ∠ADE) = বহিঃস্থ ∠AEB [যোগ করে]
ধাপ ৪. এখন, ∠AOB + ∠COD=2(∠ADE + ∠EAD) = 2∠AEB [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
অতএব, ∠AOB + ∠COD = 2∠AEB. (প্রমাণিত)
Related Question
View Allবৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত APB ও AQB দুইটি চাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির ছোট অংশকে বৃত্তটির উপচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB চাপ হচ্ছে উপচাপ।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির বড় অংশকে বৃত্তটির অধিচাপ বলা হয়।
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AQB চাপ হচ্ছে অধিচাপ।
একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি-
১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়
২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং
৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে।
চিত্রে প্রদর্শিত ∠AOB কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।
বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করলে দেখা যায় দুইটি অংশের একটি ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড়। ছোট অংশটিকে উপচাপ এবং বড়টিকে অধিচাপ বলে।
এখানে, বৃত্তচাপ CDE < বৃত্তচাপ CBD. অর্থাৎ CDE চাপটি CBD চাপের চেয়ে ছোট। সুতরাং, CDE হলো উপচাপ।
বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।
একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খন্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।
চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
