চিত্রে, PQRS বৃত্তের কেন্দ্র O এবং OM

এখানে, ∠QPS = 50°

এখন, QS চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠QPS এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOS

∠QOS = 2∠QPS = 2 $\times$ 50° = 100°

অতএব, ∠QOS এর মান 100°.

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PQR + ∠PSR = দুই সমকোণ।

অঙ্কন: O, P এবং O, R যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ PQR এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠POR = 2 (বৃত্তস্থ ∠PSR)

অর্থাৎ ∠POR = 2∠PSR [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

ধাপ ২. আবার একই চাপ PSR এর কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2(বৃত্তস্থ ∠PQR)

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2 ∠PQR

এখন, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2(∠PSR + ∠PQR)

কিন্তু, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = চার সমকোণ

$\therefore$ 2(PSR+ ∠PQR) = চার সমকোণ

বা,  ∠PSR + ∠PQR = দুই সমকোণ

অর্থাৎ ∠PQR + ∠PSR = দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)

মনে করি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ও PS দুইটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। O থেকে PQ ও PS এর উপর OM ও ON লম্ব। তাহলে OM ও ON কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে PQ ও PS জ্যায়ের দূরত্ব নির্দেশ করে। এখানে OM < ON

প্রমাণ করতে হবে যে, PQ > PS.

অঙ্কন : O, P যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপ ১. এখানে, OM$\perp$PQ

$\therefore$ PM = $\frac{1}{2}$ PQ [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

অনুরূপভাবে, PN = $\frac{1}{2}$ PS

ধাপ ২. এখন সমকোণী ত্রিভুজ POM-এ

$O{P}^2 = O{M}^2 + P{M}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

$\therefore$ $O{M}^2 = O{P}^2-P{M}^2$

ধাপ ৩. তদ্রুপ সমকোণী ত্রিভুজ ∠PON-এ

$O{P}^2= O{N}^2+ P{N}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

$\therefore$ $O{N}^2 = O{P}^2 - P{N}^2$

ধাপ ৪. এখানে, OM

বা, $O{M}^2<O{N}^2$

বা,  $O{P}^2-P{M}^2 <O{P}^2-P{N}^2$  [ধাপ (২) ও ধাপ (৩) হতে]

বা, $P{M}^2-P{N}^2$

বা, $P{M}^2>P{N}^2$

বা, PM > PN

বা, $\frac{1}{2} PQ > \frac{1}{2}$PS  [ধাপ (১) হতে ]

$\therefore$ PQ > PS. (প্রমাণিত)