চিত্র-১ এ গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি তার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টির দ্বিগুণের সমান। সূত্রটি হলো \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\), যেখানে \(a\) ও \(b\) হলো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং \(d_1\) ও \(d_2\) হলো কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য। উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য \(a = 20\) সে.মি. এবং \(b = 15\) সে.মি.। ক্ষুদ্রতর কর্ণের দৈর্ঘ্য \(d_1 = 16\) সে.মি.। এই মানগুলো সূত্রে প্রয়োগ করে পাই:
\(16^2 + d_2^2 = 2(20^2 + 15^2)\)
\(256 + d_2^2 = 2(400 + 225)\)
\(256 + d_2^2 = 2(625)\)
\(256 + d_2^2 = 1250\)
\(d_2^2 = 1250 - 256\)
\(d_2^2 = 994\)
\(d_2 = \sqrt{994}\)
\(d_2 \approx 31.527\) সে.মি.।
সুতরাং, সামান্তরিকটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রায় \(31.527\) সে.মি.।

এই সূত্রটি জ্যামিতিতে সামান্তরিকের বাহু ও কর্ণের দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এটি মূলত ত্রিভুজের কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রতিপাদন করা যায় এবং সামান্তরিকের অজানা বাহু বা কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে এর ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।

দেওয়া আছে,

সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 36 সে.মি.

সামান্তরিকের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 28 সে.মি.

ক্ষুদ্রতর কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = 32 সে.মি.

আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলোর বর্গ এবং কর্ণগুলোর বর্গের যোগফলের মধ্যে সম্পর্ক হলো:

\(2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2\)

এখানে, d₂ হলো অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য।

মান বসিয়ে পাই,

\(2(36^2 + 28^2) = 32^2 + d_2^2\)

\(2(1296 + 784) = 1024 + d_2^2\)

\(2(2080) = 1024 + d_2^2\)

\(4160 = 1024 + d_2^2\)

\(d_2^2 = 4160 - 1024\)

\(d_2^2 = 3136\)

\(d_2 = \sqrt{3136}\)

\(d_2 = 56\)

সুতরাং, সামান্তরিকের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 56 সে.মি.