জ্যামিতিক পদ্ধতিতে sin 45°  এর মান নির্ণয় কর।

30° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 30°=\frac{1}{2},$ $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$cot 30°=\sqrt{3;}sec30°=\frac{2}{\sqrt{3}}, \cos ec 30°=2$

60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 60°=\frac{1}{2},\tan 60°=\sqrt{3};$

$cot 60°=\frac{1}{\sqrt{3}}; sec 60°=2; \cos ec 60°=\frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan \theta$=লম্ব/ভূমি

বা, $\tan \theta =$লম্ব/ভূমি  [ ∵ লম্ব ও ভূমি একই]

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45°$

$\therefore \theta =45°$

$\therefore \theta =45°$ হলে, সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি একই হবে।

দেওয়া আছে, $\tan 9x = cot 9x$

বা, $\tan 9x=\frac{1}{\tan 9x} \left[\because cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }\right]$

বা, $ta{n}^2 9x=1$

বা, $\tan 9x = 1$ [বর্গমূল করে]

বা, $\tan 9x = \tan 45 °$

বা, $9x = 45°$

বা, $x=\frac{45°}{9}=5°$

নির্ণেয় মান: $x=5°$

মনে করি, $\angle XOZ = 45°$ এবং P. OZ এর উপরস্থ একটি বিন্দু । $PM \perp OX$ আঁকি।

এখন, OPM সমকোণী ত্রিভুজে, $\angle POM = 45°$

সুতরাং, $\angle OPM =45°$

অতএব, $PM = OM = a$ (মনে করি)

এখন, $OP² = OM² +PM² = a² + a²-2a²$

$\mathrm{वा}$, $OP=\sqrt{2}a$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে পাই , $\tan 45°=\frac{PM}{OM}=\frac{a}{a}=1$

নির্ণেয় মান: 1.

দেওয়া আছে, $\theta =60°$

প্রদত্ত রাশি = $4 \sin ² \theta -{\cos }^2 \theta = 4(\sin \theta )² - {\left(\cos \theta \right)}^2$

                   $= 4 (\sin 60°)² - {(\cos 60°)}^2$

                    $= 4{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4.\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{12}{4}-\frac{1}{4}=\frac{12-1}{4}=\frac{11}{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{11}{4}$