সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

30° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 30°=\frac{1}{2},$ $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$cot 30°=\sqrt{3;}sec30°=\frac{2}{\sqrt{3}}, \cos ec 30°=2$

60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 60°=\frac{1}{2},\tan 60°=\sqrt{3};$

$cot 60°=\frac{1}{\sqrt{3}}; sec 60°=2; \cos ec 60°=\frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan \theta$=লম্ব/ভূমি

বা, $\tan \theta =$লম্ব/ভূমি  [ ∵ লম্ব ও ভূমি একই]

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45°$

$\therefore \theta =45°$

$\therefore \theta =45°$ হলে, সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি একই হবে।

মনে করি, $\angle XOZ = 45°$ এবং  $P, OZ$ এর উপরস্থ একটি বিন্দু $PM \perp OX$ আঁকি। $OPM$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle POM = 45°$

সুতরাং, $\angle OPM = 45°$

অতএব, $PM = OM = a$ (মনে করি)

এখন, $OP² = OM² + PM²$

                         $=a^2+a^2=2a^2$

বা, $OP =\sqrt{2}a$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$\sin 45°=\frac{PM}{OP}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore \sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$

দেওয়া আছে, $\tan 9x = cot 9x$

বা, $\tan 9x=\frac{1}{\tan 9x} \left[\because cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }\right]$

বা, $ta{n}^2 9x=1$

বা, $\tan 9x = 1$ [বর্গমূল করে]

বা, $\tan 9x = \tan 45 °$

বা, $9x = 45°$

বা, $x=\frac{45°}{9}=5°$

নির্ণেয় মান: $x=5°$

মনে করি, $\angle XOZ = 45°$ এবং P. OZ এর উপরস্থ একটি বিন্দু । $PM \perp OX$ আঁকি।

এখন, OPM সমকোণী ত্রিভুজে, $\angle POM = 45°$

সুতরাং, $\angle OPM =45°$

অতএব, $PM = OM = a$ (মনে করি)

এখন, $OP² = OM² +PM² = a² + a²-2a²$

$\mathrm{वा}$, $OP=\sqrt{2}a$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে পাই , $\tan 45°=\frac{PM}{OM}=\frac{a}{a}=1$

নির্ণেয় মান: 1.

দেওয়া আছে, $\theta =60°$

প্রদত্ত রাশি = $4 \sin ² \theta -{\cos }^2 \theta = 4(\sin \theta )² - {\left(\cos \theta \right)}^2$

                   $= 4 (\sin 60°)² - {(\cos 60°)}^2$

                    $= 4{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4.\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{12}{4}-\frac{1}{4}=\frac{12-1}{4}=\frac{11}{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{11}{4}$

দেওয়া আছে, $A = 30°$

বামপক্ষ = $\cos 2A = \cos \left(2\times 30°\right)=\cos 60°=\frac{1}{2}$

ডানপক্ষ$=\frac{1-{\tan }^{2}A}{1+ta{n}^{2}A}=\frac{1-(\tan 30°{)}^2}{1+(tan30°{)}^2}$

                 $=\frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^2}{{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^2}=\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

                 $\therefore cos 2A=\frac{1-{\tan }^{2}A}{1+ta{n}^{2}A}$(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\beta =30°$

বামপক্ষ $= \cos 2\beta = \cos (2 \times 30 °) = \cos 60° =\frac{ 1}{2}$

ডানপক্ষ $=2co{s}^2\beta -1=2(cos30°{)}^2-I=2\times {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-1$

              $= 2 \times \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}$

               $2\times \frac{3}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{3-2}{2}=\frac{1}{2}$

    $\therefore cos 2\beta =2co{s}^2\beta -1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে , $C = 30°$

বামপক্ষ$= \tan 2 C = \tan (2 *\times 30°) = \tan 60°= \sqrt{3}$

ডানপক্ষ$=\frac{2\tan C}{1-ta{n}^{2}C}=\frac{2\tan 30°}{1-ta{n}^{2}30°}$

             = $\frac{2\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^2}\left[\because \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\right]$

            $=\frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}{{\displaystyle \frac{3-1}{3}}}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{3}{2}=\sqrt{3}$

          অর্থাৎ , $\tan 2c=\frac{2 \tan C}{1 - {\tan }^{2}C}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\propto =30°$

প্রদত্ত রাশি $=4co{s}^3 \propto - 3 \sin 2\propto$

                  $=4co{s}^3 30°-3sin(2\times 30°)$

                 $=4co{s}^{3}30°-3sin60°=4{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3-3\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

                    $=4\times \frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0$

নির্ণেয় মান 0.

দেওয়া আছে, $\tan \theta =\sqrt{3}$

বা, $\tan \theta = \tan 60°$

$\therefore \theta = 60°$

$\therefore \sin \theta = \sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

নির্ণেয় মান$\frac{\sqrt{3}}{2}$

প্রদত্ত রাশি$=\frac{1-{\left(\cos 60°\right)}^2}{1+{\left(\cos 60°\right)}^2}+\frac{{\left(1+\sin 90°\right)}^2}{1-\left( \sin 45°\right)}$

                 $=\frac{1-{\left(\cos 60°\right)}^2}{1+{\left(\cos 60°\right)}^2}+\frac{{\left(1+\sin 90°\right)}^2}{1-\left( \sin 45°\right)}$=$\frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}+\frac{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}+\frac{1+{\left(1\right)}^2}{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^2}$

                   $= \frac{1 - {\displaystyle \frac{1}{4}}}{1 + {\displaystyle \frac{1}{4}}} +\frac{ 1 + 1}{1 - {\displaystyle \frac{1}{2}}}= \frac{{\displaystyle \frac{4 - 1}{4}}}{{\displaystyle \frac{4+1}{4}}} + \frac{2}{{\displaystyle \frac{2-1}{2}}} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}+\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

                  $=\frac{3}{4}\times \frac{4}{5}+2\times \frac{2}{1}=\frac{3}{5}+4=\frac{3+20}{5} =\frac{23}{5}$

নির্ণেয় মান: $\frac{23}{5}$

দেওয়া আছে, $sec A = \cos ec B = 2$

$\therefore sec A = 2$

বা, $sec A= sec 60°$

$\therefore A=60°$

এবং $\cos ec B=2$

বা, $\cos ec B = \cos ec 30°$

$\therefore B = 30°$

প্রদত্ত রাশি $= \sin (A - B) = \sin (60° - 30°) = \sin 30°= \frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান $\frac{1}{2}$

দেওয়া আছে; $\tan B = 1$

           বা, $\tan B = \tan 45°$

           বা, $B = 45°$

প্রদত্ত রাশি$= \sin B. \cos B$

                   $=\sin 45°.\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{2}$

দেওয়া আছে, $\cos (\propto + 30°) = 0$

বা, $\cos (\propto + 30°) = \cos 90°$

বা, $\propto + 30° = 90°$

বা, $\propto =90°-30°$

$\therefore \propto = 60°$

$\therefore \sin \frac{\propto }{2}=\sin \frac{60°}{2}=\sin 30°=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{2}$

দেওয়া আছে, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin \theta =\sin 60° \therefore \theta =60°$

প্রদত্ত রাশি $= sec \theta - \tan \theta = sec 60° - \tan 60° = 2 -\sqrt{3}.$

দেওয়া আছে, $\sin 5 \theta = \cos 5 \theta$

বা, $\frac{\sin 5\theta }{\cos 5\theta }=1$ [উভয়পক্ষকে cos 5$\theta$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\tan 5\theta =1$

বা, $tan5\theta =tan45° [ \because \tan 45°= 1 ]$

বা, $5\theta =45°$

বা, $\theta =\frac{45°}{5}$

প্রদত্ত রাশি $= \sin 10 \theta$

                    $= \sin (10 \times 9)°= \sin 90°=1$

নির্ণেয় মান: $1$

দেওয়া আছে, $\theta =30°$

                   $\therefore {\cos }^2\theta .{\sin }^2\theta ={\left(\cos \theta \right)}^2.{\left(\sin \theta \right)}^2$

                        $=(cos30°{)}^2.{(sin30°)}^2$

                         $={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}.\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$

নির্ণেয় মান: $\frac{3}{16}$

দেওয়া আছে, $A = 30°$

বামপক্ষ$={\sin }^2 2A={\left(\sin 2 A\right)}^2={\left(\sin 2\times 30°\right)}^2$

              = ${\left(\sin 60°\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$

ডানপক্ষ $= {\cos }^{2}A = {\left(\cos A\right)}^2={\left(\cos 30°\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$

$\therefore si{n}^2 2A=co{s}^{2}A$ (Showed)

দেওয়া আছে, $cot ( \theta - 30°) =\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $cot (\theta - 30°) = cot 60°$

বা, $\theta -30°=60°$

বা, $\theta =60°+{30}^o$ $=90°$

$\therefore \sin \theta = \sin 90° = 1$

নির্ণেয় মান 1.

এখানে,  $\sin \left(60°-\theta \right)=\sin 30° \left[\because \sin 30°=\frac{1}{2}\right]$

বা , $\sin (60°- \theta ) = \sin 30° \left[\because \sin 30°=\frac{1}{2}\right]$

বা, $60° - \theta = 30°$

বা, $\theta = 60° - 30° =30°$

$\therefore \tan \theta = \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

দেওয়া আছে, $\sin \left(35°+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin (35°+ x) = \sin 60°$

বা, $35°+ x = 60°$

বা, $x = 60° - 35°= 25°$

$\therefore x=25°$

$\therefore$ x এর মান 25$°$

এখানে, $A - B = 30°$

এবার, $cot A = 1$

বা, $cot A = cot 45°$

$\therefore A= 45°$

আবার,  $A - B = 30°$

বা, $45° - B = 30°$

বা, $45° - 30°= B$

$\therefore B = 15°$

দেওয়া আছে, $\sin 3A = \cos 3A$

বা, $\frac{\sin 3A}{\cos 3A}=1$

বা, $\tan 3A=45°$

বা, $3A=45°$

বা, $A =\frac{45°}{3}=15°$

$\therefore \tan 4A= \tan 4.15 = \tan 60°=\sqrt{3}$

দেওয়া আছে,  $se{c}^2\theta +ta{n}^2\theta =3$

                    বা, $ta{n}^2 \theta +1+ta{n}^2\theta =3$

                    বা, $2 ta{n}^2 \theta =3-1$

                     বা, ${\tan }^2\theta =\frac{2}{2}=1$

                      বা, $\tan \theta = \sqrt{1}=1$

                        বা, $\tan \theta = \tan 45°$

                          $\theta = 45°$

      প্রদত্ত রাশি $=\cos ec \theta = \cos ec 45°= \sqrt{2}$

নির্ণেয় মান : $\sqrt{2}$

দেওয়া আছে, $1+ta{n}^2\theta =4$

                      বা, $se{c}^2 \theta =4$

                      বা, $sec \theta = \sqrt{4}$

                     বা, $sec \theta = 2$

                     বা, $sec \theta = sec 60°$

              $\therefore$  $\theta = 60°$

এখানে, $\sqrt{2} \cos (A - B) = 1$

বা, $\cos (A - B) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45°$

    $\therefore A - B = 45° .......\left(i\right)$

আবার, $2 \sin (A + B) = \sqrt{3}$

বা, $\sin (A + B) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60°$

$\therefore A+B=60{°}^{.}.......\left(2\right)$

(1) + (2) হতে পাই,

$$\begin{gathered} 2A = 105° \\ \therefore A=52\frac{1}{2}° \end{gathered}$$

এখানে, $\sin 3\theta = \cos 3\theta$

বা, $\frac{\sin 3\theta }{\cos 3\theta }=1$

বা, $\tan 3\theta = \tan 45°$

বা, $3\theta = 45°$

$\therefore \theta = 15°$

$△ ABC$ এ $\angle C=90°$ এবং $\angle A=60°$

$\therefore \angle \mathit{B}=90°-\angle A=90°-60°=30°$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{\tan A - \tan B}{1+ \tan A. \tan B}=\frac{\tan 60°-\tan 30°}{1+ \tan 60° .\tan 30°}$

                    $=\frac{\sqrt{3-}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{1+\sqrt{3}.{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3-1}{\sqrt{3}}}}{1+1}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

দেওয়া আছে, $\sin \left(A-B\right)= \frac{1}{2}$

বা, $\sin \left(A-B\right)= \sin 30°$

বা, $A - B = 30°$

বা, $A - 30°= 30°\left[\because B= 30°\right]$

$\therefore$ $A = 30° + 30°= 60°$

$\therefore$ A এর মান 60°.

দেওয়া আছে, $2 \cos (A - B) =\sqrt{3}$

বা, $\cos (A - B) =\frac{\sqrt{3}}{2}= \cos 30°$

$\therefore A-B = 30°.............\left(i\right)$

আবার, $sin(A+B)=I=sin 90°$

$\therefore A + B = 90°............\left(ii\right)$

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$\therefore 2A = 120°$

বা, $A = 60°$

$\therefore A= 60°$

দেওয়া আছে, $coscec(A+B{)}^2=\frac{2}{\sqrt{3}}$

     বা, $\cos ec (A+B)²=\cos ec 60°$

  $\therefore {\left(A+B\right)}^2=\cos ec 60°$

   $\therefore (A+B{)}^2=60°$

প্রদত্ত রাশি  $=sin\left(16AB\right)=sin\{4.4AB\}$

                       $=sin\left[4\right\{(A+B{)}^2-(A-B{)}^2\}$

                        $=sin\left\{4\right(60°-45°\left)\right\}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

    নির্ণেয় মান  $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ABC. সমকোণী ত্রিভুজে, $\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}$

                                  বা, $\tan 60°=\frac{60}{x}$

                                    বা, $\sqrt{3}=\frac{60}{x}$

                                   বা , $x=\frac{60}{\sqrt{3}}$

                                 $\therefore x=20\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $x=20\sqrt{3}$

দুইটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি 90 °হলে এদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়। যেমন: 40° ও 50°  সূক্ষ্মকোণ দুইটির সমষ্টি 90° । সুতরাং 40° ও 50° পরস্পরের পূরক কোণ।

দেওয়া আছে, $sec \left(90°-\theta \right)=\frac{5}{3}$

বা, $\cos ec \theta =\frac{5}{3}\left[\because sec \left(90°-\theta \right)=\cos ec \theta \right]$

বা, $\frac{1}{\sin \theta }=\frac{5}{3}$

$\therefore \sin \theta =\frac{3}{5}$ [বিপরীতকরণ করে]

নির্ণেয় মান: $\frac{3}{5}$.

দেওয়া আছে, $\sin (90°-\theta ) = \frac{5}{13}$

বা, $\cos \theta =\frac{5}{13} \left[\because \sin \left(90°-\theta \right)=\cos \theta \right]$

এখন, $\sin ² \theta = 1-\cos ² \theta$

$= 1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{169-25}{169}=\frac{144}{169}$

$\therefore \sin \theta = \sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

নির্ণেয় মান : $\frac{12}{13}$

দেওয়া আছে, $cot (90° - \theta ) =\sqrt{3}$

বা, $cot(90° - \theta ) = cot 30°$

বা, $90°-\theta =30°$

বা, $\theta = 90° - 30°= 60°$

প্রদত্ত রাশি $=sin\theta =sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

নির্ণেয় মান: $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

দেওয়া আছে, $\tan (90° - \beta ) =\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan (90°-ẞ) = \tan 30°$

বা, $90°-\beta =30°$

বা, $\beta = 90°- 30°= 60°$

প্রদত্ত রাশি = $\cos ec B = \cos ec 60°=\frac{2}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান:$\frac{2}{\sqrt{3}}$               

দেওয়া আছে, $\tan (90° - A) =\sqrt{3}$

বা, $cot A = \sqrt{3}$ বা, $cot A= cot 30°$

$\therefore A = 30°$

নির্ণেয় মান : A = 30°

দেওয়া আছে, $sec(A + 30°) = \sqrt{2}$

                     বা, $sec(A + 30°) = sec(45°)$

                      বা, $A + 30°= 45°$

                     বা, $A = 45°- 30°$

                       $\therefore A = 15°$

নির্ণেয় মান : $A = 15°$

দেওয়া আছে, $tan(A - 30°) =1$

বা, $\tan (A - 30°) = \tan 45°$

বা, $A - 30° = 45°$

বা, $A = 45° + 30°$

   $\therefore A = 45°+30°$

   নির্ণেয় মান : $A = 75 °$

দেওয়া আছে , $cot(A - 25°) = 1$

বা, $cot(A - 25°) = cot 45°$

বা, $A - 25° = 45°$

বা, $A = (45°+ 25°)$

  $\therefore A = 70°$

নির্ণেয় মান: $A= 70°$

দেওয়া আছে, $\sin (90°-\theta ) = \cos (120° - \theta )$

বা, $cos \theta =cos(120-\theta ) \left[sin\right(90°-\theta )=cos\theta ]$

বা, $\theta = 120 deg - \theta$

বা, $\theta +\theta =120°$

বা, $2\theta = 120°$

$\therefore \theta = 60°$

প্রদত্ত রাশি = $=sec\theta =sec 60°=2$

নির্ণেয় মান 2.

দেওয়া আছে, $\sin ( 90°- \theta ) = \frac{5}{7}$

$\therefore \cos \theta = \frac{5}{7}$

$\therefore \sin \theta = \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$

$= {\sqrt{1-\left(\frac{5}{7}\right)}}^2=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\sqrt{\frac{24}{49}}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\therefore \tan \theta + \cos \theta = \frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\cos \theta = \frac{{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}}}{{\displaystyle \frac{5}{7}}}+\frac{5}{7}$

$=\frac{2\sqrt{6}}{7}\times \frac{7}{5}+\frac{5}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{5}+\frac{5}{7}=\frac{14\sqrt{6}+25}{35}$

নির্ণেয় মান : $\frac{25+14\sqrt{6}}{35}$

দেওয়া আছে, $cot(A - 30°) = 1$

বা, $cot(A - 30°) = cot 45°$

বা, $A - 30°= 45°$

বা, $A= 45°+ 30°$

$\therefore A = 75°$

নির্ণেয় মান: $A= 75°$

দেওয়া আছে, $\tan (A - 15°) =1$

   বা, $\tan (A - 15°) = \tan 45°$

   বা, $A - 15° = 45°$

   বা, $A = 45° + 15°$

   $\therefore A= 60°$

  $\therefore$ A এর নির্ণেয় মান 60°.

দেওয়া আছে, $\sin (90° - \theta ) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin (90° - \theta ) = \sin 60°$

বা, $90° - \theta = 60°$

বা, $90° - 60°=\theta$

$\therefore \theta = 30°$

প্রদত্ত রাশি = $=se{c}^2\theta = se{c}^{2}30°={\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2$

নির্ণয় মান : $\frac{4}{3}$ .

দেওয়া আছে,, $\tan (60° - \theta ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan (60°- \theta ) = \tan 30°$

বা, $60°-\theta = 30°$

বা, $60°- 30° = \theta$

∴    $\theta = 30°$

$\therefore \cos ec \theta = \cos ec 30 ° = 2$

নির্ণেয় মান: $2$

দেওয়া আছে, $A = 20°$

বামপক্ষ  $=ta{n}^2 3A=(tan3\times 20°{)}^2=(tan60°{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$

ডানপক্ষ $= 4si{n}^2 3A=4(sin 3\times 20°{)}^2$

                $=4(sin60°{)}^2=4\times {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=4\times \frac{3}{4}=3$

        $\therefore ta{n}^2\left(3A\right)=4si{n}^2\left(3A\right)$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $2 \cos (90°- 2°) = 1$

বা, $\cos (90° - 2\theta ) =\frac{1}{2}$

বা, $\cos (90°-2\theta ) = \cos 60° [ \because \cos 60°=\frac{1}{2}]$

বা, $90° - 2\theta = 60°$

বা, $90°- 60° = 2\theta$

বা, $2\theta ={30}^o,\theta =15°$

নির্ণেয় মান : $\theta =15°$

দেওয়া আছে, $\cos ec (90°-\theta )=2$

বা, $\cos ec (90°-\theta ) = \cos ec 30° [ \because \cos ec 30° = 2]$

বা, $90° - \theta = 30°$

বা, $90°- 30°=\theta$