তড়িৎ দ্বিমেরু কাকে বলে? (জ্ঞানমূলক)

একটি সুষমভাবে আহিত বা চার্জিত পরিবাহী গোলকের অভ্যন্তরে, এমনকি কেন্দ্রেও, তড়িৎ ক্ষেত্রপ্রাবল্য (electric field intensity) শূন্য হয়। এটি পরিবাহী পদার্থের একটি মৌলিক ধর্ম।

এর কারণ হলো, পরিবাহী গোলকের মধ্যে আধান (charge) কেবল এর বাইরের পৃষ্ঠে বন্টিত থাকে। গোলকের অভ্যন্তরে কোনো নিট আধান থাকে না। গসের সূত্রানুসারে (Gauss's Law), কোনো বদ্ধ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে মোট তড়িৎ ফ্লাক্স (electric flux) তার আবদ্ধ মোট আধানের সমানুপাতিক। যেহেতু গোলকের অভ্যন্তরে যেকোনো কাল্পনিক বদ্ধ পৃষ্ঠ কোনো আধান আবদ্ধ করে না, তাই অভ্যন্তরের যেকোনো বিন্দুতে তড়িৎ ফ্লাক্স শূন্য হয়, যার ফলে তড়িৎ ক্ষেত্রপ্রাবল্যও শূন্য হয়।

ধারকত্ব নির্ণয়ের জন্য ধারকের সমান্তরাল ও শ্রেণি সমবায়ের সূত্র ব্যবহার করা হয়। সমান্তরাল সমবায়ে তুল্য ধারকত্ব (\(C_p\)) হয় ধারকগুলোর পৃথক ধারকত্বের যোগফলের সমান (\(C_p = C_1 + C_2 + ...\)) এবং শ্রেণি সমবায়ে তুল্য ধারকত্বের বিপরীত মান হয় ধারকগুলোর পৃথক ধারকত্বের বিপরীত মানের যোগফলের সমান (\(\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ...\))।

উদ্দীপকের বর্তনীটি পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায় যে, \(C_2\) এবং \(C_3\) ধারক দুটি সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত আছে। এই সমান্তরাল সমবায়ের সাথে \(C_1\) ধারকটি শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত। চিত্র অনুযায়ী, ধারকগুলোর মান হলো: \(C_1 = 1 \mu F\), \(C_2 = 2 \mu F\) এবং \(C_3 = 3 \mu F\)। বর্তনীর তুল্য ধারকত্ব নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সমান্তরাল অংশের এবং তারপর শ্রেণি অংশের তুল্য ধারকত্ব হিসাব করতে হবে।

প্রথমে \(C_2\) ও \(C_3\) এর সমান্তরাল তুল্য ধারকত্ব (\(C_p\)) নির্ণয় করা হলো:

\[C_p = C_2 + C_3\]

\[C_p = 2 \mu F + 3 \mu F\]

\[C_p = 5 \mu F\]

এখন, \(C_1\) এবং \(C_p\) পরস্পর শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত। সুতরাং, বর্তনীর তুল্য ধারকত্ব (\(C_{eq}\)) হবে:

\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p}\]

\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1 \mu F} + \frac{1}{5 \mu F}\]

\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{5+1}{5 \mu F}\]

\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{6}{5 \mu F}\]

\[C_{eq} = \frac{5}{6} \mu F\]

\[C_{eq} \approx 0.833 \mu F\]

  উদ্দীপকে প্রদর্শিত বর্তনী থেকে $C_1$ এবং $C_3$ ধারকদুটিতে সঞ্চিত শক্তি নির্ণয় করে তাদের তুলনা করা হলো। সঞ্চিত শক্তি নির্ণয়ের জন্য প্রতিটি ধারকের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত চার্জ এবং এর দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

  উদ্দীপকের বর্তনীতে,   
তড়িৎ উৎস, \(V = 12V\)   
ধারক \(C_1 = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F\)   
ধারক \(C_2 = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} F\)   
ধারক \(C_3 = 3 \mu F = 3 \times 10^{-6} F\)   
  প্রথমে $C_2$ ও $C_3$ ধারক দুটি সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত। তাদের তুল্য ধারকত্ব,   
\(C_p = C_2 + C_3 = 2 \mu F + 3 \mu F = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} F\)   
এখন $C_1$ ধারকটি \(C_p\) এর সাথে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত। বর্তনীর মোট তুল্য ধারকত্ব,   
\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p}\)   
\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} + \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{5}) \times 10^6\)   
\(\frac{1}{C_{eq}} = (\frac{5+1}{5}) \times 10^6 = \frac{6}{5} \times 10^6\)   
\(C_{eq} = \frac{5}{6} \times 10^{-6} F\)   
বর্তনীতে মোট চার্জ,   
\(Q_{total} = C_{eq} \times V = (\frac{5}{6} \times 10^{-6} F) \times 12V = 10 \times 10^{-6} C = 10 \mu C\)   

$C_1$ ধারকের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত চার্জ,   
\(Q_1 = Q_{total} = 10 \mu C\)   
সুতরাং, $C_1$ ধারকের বিভব পার্থক্য,   
\(V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{10 \mu C}{1 \mu F} = 10 V\)   
$C_1$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি,   
\(E_1 = \frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2} (1 \times 10^{-6} F) (10 V)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-6} \times 100 = 50 \times 10^{-6} J = 50 \mu J\)   

সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত $C_2$ ও $C_3$ এর বিভব পার্থক্য,   
\(V_p = V - V_1 = 12V - 10V = 2V\)   
সুতরাং, $C_3$ ধারকের বিভব পার্থক্য,   
\(V_3 = V_p = 2V\)   
$C_3$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি,   
\(E_3 = \frac{1}{2}C_3V_3^2 = \frac{1}{2} (3 \times 10^{-6} F) (2 V)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-6} \times 4 = 6 \times 10^{-6} J = 6 \mu J\)

  প্রাপ্ত ফলাফল অনুযায়ী, $C_1$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি \(E_1 = 50 \mu J\) এবং $C_3$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি \(E_3 = 6 \mu J\)। যেহেতু \(50 \mu J > 6 \mu J\), তাই $C_1$ ধারকে $C_3$ ধারকের চেয়ে অধিক শক্তি সঞ্চিত আছে।

  সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে $C_1$ ধারকে $C_3$ ধারকের চেয়ে বেশি শক্তি সঞ্চিত হয়।