$C_1$ এবং $C_3$ ধারকদুটির মধ্যে কোনটিতে সঞ্চিত শক্তি অধিক? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।

(উচ্চতর দক্ষতা)

  উদ্দীপকে প্রদর্শিত বর্তনী থেকে $C_1$ এবং $C_3$ ধারকদুটিতে সঞ্চিত শক্তি নির্ণয় করে তাদের তুলনা করা হলো। সঞ্চিত শক্তি নির্ণয়ের জন্য প্রতিটি ধারকের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত চার্জ এবং এর দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

  উদ্দীপকের বর্তনীতে,   
তড়িৎ উৎস, \(V = 12V\)   
ধারক \(C_1 = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F\)   
ধারক \(C_2 = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} F\)   
ধারক \(C_3 = 3 \mu F = 3 \times 10^{-6} F\)   
  প্রথমে $C_2$ ও $C_3$ ধারক দুটি সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত। তাদের তুল্য ধারকত্ব,   
\(C_p = C_2 + C_3 = 2 \mu F + 3 \mu F = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} F\)   
এখন $C_1$ ধারকটি \(C_p\) এর সাথে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত। বর্তনীর মোট তুল্য ধারকত্ব,   
\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p}\)   
\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} + \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{5}) \times 10^6\)   
\(\frac{1}{C_{eq}} = (\frac{5+1}{5}) \times 10^6 = \frac{6}{5} \times 10^6\)   
\(C_{eq} = \frac{5}{6} \times 10^{-6} F\)   
বর্তনীতে মোট চার্জ,   
\(Q_{total} = C_{eq} \times V = (\frac{5}{6} \times 10^{-6} F) \times 12V = 10 \times 10^{-6} C = 10 \mu C\)   

$C_1$ ধারকের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত চার্জ,   
\(Q_1 = Q_{total} = 10 \mu C\)   
সুতরাং, $C_1$ ধারকের বিভব পার্থক্য,   
\(V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{10 \mu C}{1 \mu F} = 10 V\)   
$C_1$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি,   
\(E_1 = \frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2} (1 \times 10^{-6} F) (10 V)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-6} \times 100 = 50 \times 10^{-6} J = 50 \mu J\)   

সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত $C_2$ ও $C_3$ এর বিভব পার্থক্য,   
\(V_p = V - V_1 = 12V - 10V = 2V\)   
সুতরাং, $C_3$ ধারকের বিভব পার্থক্য,   
\(V_3 = V_p = 2V\)   
$C_3$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি,   
\(E_3 = \frac{1}{2}C_3V_3^2 = \frac{1}{2} (3 \times 10^{-6} F) (2 V)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-6} \times 4 = 6 \times 10^{-6} J = 6 \mu J\)

  প্রাপ্ত ফলাফল অনুযায়ী, $C_1$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি \(E_1 = 50 \mu J\) এবং $C_3$ ধারকে সঞ্চিত শক্তি \(E_3 = 6 \mu J\)। যেহেতু \(50 \mu J > 6 \mu J\), তাই $C_1$ ধারকে $C_3$ ধারকের চেয়ে অধিক শক্তি সঞ্চিত আছে।

  সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে $C_1$ ধারকে $C_3$ ধারকের চেয়ে বেশি শক্তি সঞ্চিত হয়।