দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে x ও y এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h হলে, এদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত কিসের অনুপাতের সমান হবে? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

একই. এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা যে ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তাকে রাশিদ্বয়ের অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি এ ও ৮ এর অনুপাতকে a : b =  $\frac{a}{b}$ লেখা হয় । a ও b রাশি  দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হয়। অনুপাতটিতে a কে পূর্বরাশি এবং b কে উত্তর রাশি বলা হয়।

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 'তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, d এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a : b = c : d ।  সমানুপাতের, চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি একজাতীয় হলেই চলে।

দেওয়া আছে, দুইটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে m একক এবং n একক।

তাহলে, বর্গ দুইটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}m$ একক এবং $\sqrt{2}n$ একক

তাদের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = $\sqrt{2}m :\sqrt{ 2}n = m : n$

নির্ণেয় কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = m : n.

এখানে, আয়তদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের প্রস্থ с.

প্রথম আয়তের ক্ষেত্রফল  = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ= a $\times$ c = ac

এবং দ্বিতীয় আয়তের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = b $\times$ c = bc

আয়তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ac : bc = a : b

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত a : b.

এখানে, প্রথম রম্বসের কর্ণদ্বয় a ও b

এবং দ্বিতীয় রম্বসের কর্ণদ্বয়  c ও d

প্রথম রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times a\times b$

= $\frac{1}{2}ab$

দ্বিতীয় রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times c\times d$

= $\frac{1}{2}cd$

রম্বসদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = $\frac{1}{2}ab$ :  $\frac{1}{2}cd$ = ab : cd

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ab : cd.

ধরি, বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ $r_1 ও\hspace{0.17em}{r}_2$

প্রশ্নমতে,

$\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}$ = $\frac{4}{7}$

$\therefore$ $\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{7}$

$\therefore$ বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\frac{{\mathrm{\pi r}}_1^2}{{\mathrm{\pi r}}_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$

$={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2={\left(\frac{4}{7}\right)}^2=\frac{16}{49}=16 : 49$

নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $16 : 49$