সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

একই. এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা যে ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তাকে রাশিদ্বয়ের অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি এ ও ৮ এর অনুপাতকে a : b =  $\frac{a}{b}$ লেখা হয় । a ও b রাশি  দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হয়। অনুপাতটিতে a কে পূর্বরাশি এবং b কে উত্তর রাশি বলা হয়।

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 'তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, d এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a : b = c : d ।  সমানুপাতের, চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি একজাতীয় হলেই চলে।

এখানে,

ত্রিভুজদ্বয়ের ভূমি x ও y এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h

প্রথম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $=\frac{1}{2}$xh

এবং দ্বিতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। $=\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা = $\frac{1}{2}$ yh

ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলম্বয়ের অনুপাত = $\frac{1}{2}$ xh : $\frac{1}{2}$yh = x : y

ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

দেওয়া আছে, দুইটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে m একক এবং n একক।

তাহলে, বর্গ দুইটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}m$ একক এবং $\sqrt{2}n$ একক

তাদের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = $\sqrt{2}m :\sqrt{ 2}n = m : n$

নির্ণেয় কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = m : n.

এখানে, আয়তদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের প্রস্থ с.

প্রথম আয়তের ক্ষেত্রফল  = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ= a $\times$ c = ac

এবং দ্বিতীয় আয়তের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = b $\times$ c = bc

আয়তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ac : bc = a : b

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত a : b.

এখানে, প্রথম রম্বসের কর্ণদ্বয় a ও b

এবং দ্বিতীয় রম্বসের কর্ণদ্বয়  c ও d

প্রথম রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times a\times b$

= $\frac{1}{2}ab$

দ্বিতীয় রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times c\times d$

= $\frac{1}{2}cd$

রম্বসদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = $\frac{1}{2}ab$ :  $\frac{1}{2}cd$ = ab : cd

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ab : cd.

ধরি, বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ $r_1 ও\hspace{0.17em}{r}_2$

প্রশ্নমতে,

$\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}$ = $\frac{4}{7}$

$\therefore$ $\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{7}$

$\therefore$ বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\frac{{\mathrm{\pi r}}_1^2}{{\mathrm{\pi r}}_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$

$={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2={\left(\frac{4}{7}\right)}^2=\frac{16}{49}=16 : 49$

নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $16 : 49$

প্রদত্ত অনুপাত = 2.5 : 8.5 = $\frac{2.5}{2.5}$ : $\frac{8.5}{2.5}$= $1 : \frac{85}{25}$

= 1 : 3.4 ; যা 1 : b আকারের অনুপাত

$\therefore$ 1 : b আকারে প্রকাশিত আকার 1 : 3.4

প্রদত্ত অনুপাত= 3.6 : 6 = $\frac{3.6}{6}: \frac{6}{6}$

= 0.6 : 1 ; যা a : 1 আকারের অনুপাত

$\therefore$ a : 1 আকারের অনুপাত 0.6 : 1.

দেওয়া আছে, a : b = 6 : 5

বা, $\frac{a}{b}=\frac{6}{5}$

বা, $\frac{b}{a}= \frac{5}{6}$ [ব্যস্তকরণ করে]

বা,  $\frac{5}{6} \times \frac{b}{a}=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}$ [ $\frac{5}{6}$ দ্বারা উভয়কে গুণ করে]

বা,  $\frac{5b}{6a}= \frac{25}{36}$

বা, 5b : 6a = 25 : 36

নির্ণেয় অনুপাত 25 : 36.

দেওয়া আছে,

b : a = 9 : 17

বা, $\frac{b}{a}=\frac{9}{17}$

বা, $\frac{a}{b}= \frac{17}{9}$

বা, $\frac{a}{b}\times \frac{3}{14}=\frac{17}{9}\times \frac{3}{14}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{3}{14}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{3a}{14b}= \frac{17}{42}$

$\therefore$ 3a : 14b = 17 : 42

নির্ণেয় 3a : 14b = 17 : 42

দেওয়া আছে, x : y = 5 : 6

বা, $\frac{x}{y}=\frac{5}{6}$

বা, $\frac{x}{y}\times \frac{3}{5}=\frac{5}{6} \times \frac{3}{5}$

বা, $\frac{3x}{5y}= \frac{1}{2}$

$\therefore$ 3x : 5y = 1 : 2

দেওয়া আছে, x : y = 11 : 15

বা, $\frac{x}{y}= \frac{11}{15}$

বা, $\frac{x}{y}\times \frac{5}{2}= \frac{11}{15}\times \frac{5}{2}$[উভয়পক্ষকে $\frac{5}{2}$ দ্বারা গুণ করে]

বা,  $\frac{5x}{2y}=\frac{11}{6}$

$\therefore$ 5x : 2y = 11 : 6

নির্ণেয় অনুপাত 11 : 6.

দেওয়া আছে, 4x : 9y = 10 : 15

বা, $\frac{4x}{9y}= \frac{10}{15}$

বা, $\frac{4x}{9y}\times \frac{9}{4}=\frac{10}{15}\times \frac{9}{4}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{9}{4}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$

$\therefore$ x : y = 3 : 2

নির্ণেয় x : y = 3 : 2

দেওয়া আছে, 3x : 8y = 7 : 12

বা, $\frac{3x}{8y}= \frac{7}{12}$

বা, $\frac{3x}{8y}\times \frac{8}{3}= \frac{7}{12}\times \frac{8}{3}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{8}{3}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{x}{y}= \frac{14}{9}$

$\therefore$ x : y = 14 : 9

নির্ণেয় x : y = 14 : 9.

দেওয়া আছে, 5x : 11y = 2 : 7

বা, $\frac{5x}{11y}= \frac{2}{7}$

বা, $\frac{5x}{11y}\times \frac{11}{5}= \frac{2}{7}\times \frac{11}{5}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{11}{5}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{x}{y}= \frac{22}{35}$

বা, $\frac{y}{x}= \frac{35}{22}$

$\therefore$ y : x = 35 : 22

দেওয়া আছে, 2y : 9x = 3 : 5

বা, $\frac{2y}{9x}= \frac{3}{5}$

বা, $\frac{2y}{9x}\times \frac{9}{2}= \frac{3}{5} \times \frac{9}{2}$  [উভয়পক্ষকে $\frac{9}{2}$দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{y}{x}=\frac{27}{10}$

বা, $\frac{x}{y}= \frac{10}{27}$

$\therefore$ x : y = 10 : 27

নির্ণেয় x : y = 10 : 27

মনে করি, ১ম সংখ্যা= 5x এবং ২য় সংখ্যা = 7x

$\therefore$ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = x

প্রশ্নমতে, x = 4

$\therefore$ ১ম সংখ্যাটি = 5 $\times$ 4 = 20

এবং ২য় সংখ্যাটি = 7 $\times$ 4 = 28

নির্ণেয় সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 20 ও 28.

দেওয়া আছে, দুইটি সংখ্যার অনুপাত= 3 : 7 এবং ল.সা.গু = 168

ধরি, সংখ্যা দুইটি 3x  ও 7x

$\therefore$ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = 3 $\times$ 7x = 21x

প্রশ্নমতে, 21x = 168

বা, $x = \frac{168}{21}= 8$

$\therefore$ সংখ্যা দুইটি হচ্ছে 3x = 3 $\times$ 8 = 24 এবং 7x = 7 $\times$ 8 = 56

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 24 ও 56.

ধরি, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দুইটি হচ্ছে 7x ও 9x

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = 63x

প্রশ্নমতে, 63x = 126

বা, $x=\frac{126}{63}=2$

∴ বড়ো সংখ্যাটি = 9x = 9 $\times$ 2 = 18

নির্ণেয় বড়ো সংখ্যাটি 18.

ক্রয়মূল্য: বিক্রয়মূল্য = 5 : 6

ধরি, ক্রয়মূল্য = 5x টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = 6x টাকা

∴ লাভ = (6x-5x) টাকা = x টাকা

5x টাকায় লাভ x টাকা

1       “        ”    $\frac{x}{5x}$ "

100  “      ”    $\frac{x \times 100}{5x}$ = 20 টাকা

∴ লাভ 20%।

ধরি, সংখ্যা দুইটি 3x এবং 5x

∴ 3x এবং 5x এর ল.সা.গু. = 15x

এবং 3x ও 5x এর গ.সা.গু. = x

দেওয়া আছে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 4

প্রশ্নমতে, x = 4

∴ ল.সা.গু. = 15 $\times$ 4 = 60

নির্ণেয় ল.সা.গু. 60.

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ${\mathrm{\pi r}}^2$

আবার, ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে ব্যাসার্ধ হবে = 2r

∴ এক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = $\pi {\left(2r\right)}^2= 4\pi r^2$

∴ ক্ষেত্রফল বাড়বে = $4\pi r^2 - {\mathrm{\pi r}}^2$

$= 3{\mathrm{\pi r}}^2= 3 \times$ (বৃত্তের ক্ষেত্রফল) = তিনগুণ।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল তিনগুণ বাড়বে।

দেওয়া আছে , $\frac{3m +n}{n - m}= 9$

বা, 3m + n = 9n - 9m

বা,  12m = 8n

বা,  $\frac{m}{n}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

∴ m : n = 2 : 3

ধরি, সংখ্যাদ্বয় 7x এবং 10x

$\therefore$ 7x এবং 10x এর ল.সা.গু = 70x

প্রশ্নমতে, 70x = 910

বা, $x=\frac{910}{70}=13$

$\therefore$ 7x = 7 $\times$ 13 = 91

$\therefore$10x = 10 $\times$ 19 = 130

$\therefore$ সংখ্যা দুইটির অন্তর = 130 - 91 = 39

এখানে, চিনি পানি = 3 : 7

অনুপাত রাশিদ্বয়ের যোগফল= 3 + 7 = 10

$\therefore$ চিনির পরিমাণ = $\frac{3}{10}$ $\times$ 100% = 30%.

$\therefore$ আখের রসে 30% চিনি আছে।

মনে করি, ক্রয়মূল্য = 100 টাকা

20% লাভে বিক্রয়মূল্য = (100 + 20) টাকা = 120 টাকা

ক্রয়মূল্য / বিক্রয়মূল্য = $\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$ = 5 : 6

নির্ণেয় ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 5 : 6.

ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে,

10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (100-10) টাকা বা 90 টাকা

$\therefore$ বিক্রয়মূল্য: ক্রয়মূল্য = 90 : 100 = 9 : 10.

$\therefore$ বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের অনুপাত 9 : 10.

পিতা : পুত্র = 8 : 3

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল= 8 + 3 = 11

$\therefore$ পুত্রের বয়স = 55 $\times$ $\frac{3}{11}$ = 15 বছর।

$\therefore$ পুত্রের বর্তমান বয়স 15 বছর।

ধরি, x বছর পর বাহার ও সোহাগের বয়সের অনুপাত 9 : 7 হবে।

প্রশ্নমতে,

বাহারের বয়স + x / সোহাগের বয়স = $\frac{9}{7}$

বা, $\frac{28 + x}{20+ x}$ = $\frac{9}{7}$

বা,  196 + 7x = 180 + 9x

বা, 9x - 7x = 196 - 180

বা, 2x = 16

$\therefore$ x = 8

$\therefore$ 8 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত 9 : 7 হবে।

দেওয়া আছে, দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3x ও 4x

3x ও  4x এর ল.সা.গু = 12x

শর্তমতে, 12x = 180

বা, $x =\frac{180}{12}= 15$

$\therefore$ প্রথম সংখ্যা = 3 $\times$ 15 = 45 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = 4 $\times$ 15 = 60

$\therefore$ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 45 ও 60.

A : B = 2 : 3 = 8 : 12

B : C = 4 : 5 = 12 : 15

$\therefore$ A : B : C = 8 : 12 : 15

$\therefore$ A : C = 8 : 15

ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল ${\mathrm{\pi r}}_1^2$ এবং ${\mathrm{\pi r}}_2^2$

প্রশ্নমতে

${\mathrm{\pi r}}_1^2 : {\mathrm{\pi r}}_2^2$  = 49 : 81

বা, $\frac{{\mathrm{\pi r}}_1^2}{ {\mathrm{\pi r}}_2^2 }= \frac{49}{ 81}$

রা, $\frac{r_1}{r_2}=\frac{7}{9}$

বা, $2r_1: 2r_2=7 : 9$

$\therefore$ ব্যাসদ্বয়ের অনুপাত 7 : 9.

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় a : b = b : c

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি $b^2$  = ac হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি একজাতীয় হতে হয়। এক্ষেত্রে c কে a ও b এর তৃতীয় সমানুপাতী এবং b কে a ও c এর মধ্য সমানুপাতী বলা হয়।

2, x এবং 32 ক্রমিক সমানুপাতী হলে,  $x^2=2\times 32$ হবে

বা, $x^2=64$

বা, $x=\sqrt{64}$

$\therefore$ x = 8

নির্ণেয় মান: x = 8

এখানে, 25, y, 81 ক্রমিক সমানুপাতী।

$y^2=25\times 81$

বা, $y^2=2025$

বা, $y=\sqrt{2025}$

$\therefore$ y = 45

নির্ণেয় মান: y = 45.

মনে করি,

কলম ও পেনসিলের গড়মূল্য যথাক্রমে m টাকা ও n টাকা

$\therefore$কলমের মোট মূল্য = pm টাকা

এবং পেনসিলের মোট মূল্য = qn টাকা

শর্তমতে, pm = qn

বা, $\frac{m}{п}=\frac{р}{q}$

$\therefore$ m : n = q : p

$\therefore$ কলম ও পেনসিলের গড়মূল্যের অনুপাত = q : p.

মনে করি, M ও N এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ মিটার ও v₂ মিটার। তাহলে, t₁ মিনিটে M অতিক্রম করে v₁t₁ মিটার এবং t₂ মিনিটে N অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$V_1{t}_1=V_2{t}_2$

বা, $\frac{V_1}{V_2}=\frac{t_1}{t_2}$

$V_1 : V_2 =t_1 : t_2$

নির্ণেয় গড় গতিবেগের অনুপাত = $t_1 : t_2$

আমরা জানি,

মধ্য সমানুপাতী = $\surd$প্রথম রাশি $\times$ তৃতীয় রাশি

= $\sqrt{4\times 16}=\sqrt{64} = 8$

$\therefore$ মধ্য সমানুপাতী 8.

দেওয়া আছে, 2 : x = 1 : 2

বা, $\frac{2}{x}= \frac{1}{2}$

$\therefore$ x = 4

এখন, x : y = 2 : 3

বা, $\frac{x}{y}= \frac{2}{3}$

বা, $\frac{4}{y}= \frac{2}{3}$

বা, 2y = 12

বা,  $y=\frac{12}{2}= 6$

নির্ণেয় মান 6.

এখানে,

a : b = 4 : 5

=(4 $\times$ 2) : (5 $\times$ 2) = 8 : 10

এবং

b : c = 2 : 3 = (2$\times$5) : (3 $\times$ 5) = 10 : 15

∴ a : b : c =  8 : 10 : 15

ধরি, সংখ্যা দুইটি 5x এবং 6x

∴ সংখ্যা দুইটির  ল.সা.গু = 30x.

এবং সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x

প্রশ্নমতে, 30x = 150

বা, x = 5

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 5.

ক : খ = 3 : 4

= 3 $\times$ 5 : 4 $\times$ 5 = 15 : 20

খ : গ = 5 : 4 = 5 $\times$ 4 : 4 $\times$ 4 = 20 : 16

$\therefore$ ক : খ : গ = 15 : 20 : 16.

মনে করি, ক্রয়মূল্য 100 টাকা

20% লাভে বিক্রয়মূল্য = (100+20) টাকা = 120 টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের অনুপাত= 120 : 100 = 6 : 5.

দেওয়া আছে, a : b=c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{ad}{ac}=\frac{bc}{ac}$ [উভয়পক্ষকে ac দ্বারা ভাগ করে যেখানে a, c এর কোনোটিই শূন্য নয়]

বা,  $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

বা, d : c = b : a

নির্ণেয় d : c = b : a

দেওয়া আছে, a : b = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{ad}{cd}=\frac{bc}{cd}$ [উভয়পক্ষকে cd দ্বারা ভাগ করে যেখানে c, d' এর কোনোটিই শূন্য নয়।]

বা, $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

∴ a : c = b : d

নির্ণেয় a : c = b : d

দেওয়া আছে, a : b = c : d

বা, $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

বা,  $\frac{a}{b}+ 1 = \frac{c}{d}+ 1$ [উভয়পক্ষে 1 যোগ করে ]

$\therefore$ $\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,  a : b = c : d

বা, $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

বা, $\frac{a}{b}- 1 = \frac{c}{d}- 1$ [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করো ]

$\therefore$ $\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,  a : b = c : d

বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

যোজন করে পাই, $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ _________ (i)

আবার, বিয়োজন করে পাই, $\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$

বা, $\frac{b}{a - b}= \frac{d}{c - d}$ [ব্যস্তকরণ করে] _________ (ii)

(i)নং ও (ii) নং গুণ করে পাই,

$\frac{a + b}{b}\times \frac{b}{a - b}=\frac{c + d}{d}\times \frac{d}{c - d}$

অর্থাৎ $\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}$  [এখানে, a $\ne$ b, c $\ne$ d] (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\frac{p}{q}=\frac{q}{r}=\frac{r}{s}$

ধরি, $\frac{p}{q}=\frac{q}{r}=\frac{r}{s}$= k

তাহলে $\frac{p}{q}$= k    |   $\frac{q}{r}$ = k   |  $\frac{r}{s}$= k

বা, p = qk        |   বা, q=rk   |  বা, r = sk

প্রদত্ত রাশি = $\frac{P+q+r}{q+r+s}= \frac{k+rk+sk}{q+r+s}= \frac{k (q+r+s)}{q+r+s}$

= k ; যা প্রতিটি অনুপাতের মানের সমান।

প্রতিটি অনুপাতের মান $\frac{P+q+r}{q+r+s}$ (দেখানো হলো)

মনে করি, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}=k$

$\therefore$ a = bk, c = dk, e = fk, g = hk

$\therefore$ $\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}=\frac{bk+dk+fk+hk}{b+d+f+h}=\frac{k(b+d+f+h)}{b+d+f+h}=k$

কিন্তু k প্রদত্ত সমানুপাতের প্রত্যেকটি অনুপাতের সমান।

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}$ =$\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$

অতএব, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান $\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, l, m, n ক্রমিক সমনুপাতিক

অর্থাৎ $\frac{l}{m}= \frac{m}{n}$

বা, $m^2=ln$ ______ (i)

বামপক্ষ $=\frac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$

$=\frac{l^2+ln}{ln+n^2}=\frac{l(n+l)}{n(n+l)}=\frac{l}{n}$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$ = $\frac{l}{n}$ (দেখানো হলো)

এখানে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী

অর্থাৎ, a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}= \frac{b}{c}$

$\therefore$ $b^2$ = ac

প্রদত্ত রাশি $=\frac{(a+b{)}^2}{(b+c{)}^2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{b^2+2bc+c^2}$

$=\frac{a^2+2ab+ac}{ac+2bc+c^2}$ [$b^2= ac$]

$=\frac{a(a + 2b + c)}{c(a + 2b + c)}= \frac{a}{c}$

নির্ণেয় মান: $\frac{a}{c}$

দেওয়া আছে,  $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= k$

বা, a = bk এবং c = dk

প্রদত্ত রাশি $=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(bk{)}^2+b^2)}{(bk{)}^2-b^2)}$

$=\frac{(b^2{k}^2+b^2)}{(b^2{k}^2-b^2)}=\frac{b^2(k^2+1)}{b^2(k^2-1)}=\frac{k^2+1}{k^2-1}$

নির্ণেয় মান : $\frac{k^2+1}{k^2-1}$

দেওয়া আছে, a : b = c : d = m

বা, $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= m$

$\therefore$ a = bm এবং c = dm

বামপক্ষ $=\frac{ac + bd}{ac - bd}$

$= \frac{bm.dm+bd}{bm. dm - bd}$

$=\frac{bd(m^2+1)}{bd(m^2-1)}=\frac{m^2+1}{m^2-1}$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{ac + bd}{ac - bd}$ = $\frac{m^2+1}{m^2-1}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,  $\frac{1 - ax}{1 + ax}\sqrt{\frac{1 + bx}{1 - bx}}= 1$

বা, $\sqrt{\frac{1 + bx}{1 - bx}}$= $\frac{1 - ax}{1 + ax}$

বা, $\frac{1+bx}{1-bx}=\frac{(1+ax{)}^2}{(1-ax{)}^2}$

বা, $\frac{1+bx}{1-bx}=\frac{1+2ax+a^2{x}^2}{1-2ax+a^2{x}^2}$

বা, $\frac{1+bx+1-bx}{1+bx-1+bx}=\frac{1+2ax+a^2{x}^2+1-2ax+a^2{x}^2}{1+2ax+a^2{x}^2-1+2ax-a^2{x}^2}$ [যোজন-বিয়োজন করে ]

বা, $\frac{2}{2bx}=\frac{2(1+a^2{x}^2)}{4ax}$

বা, $\frac{1}{bx}=\frac{1+a^2{x}^2}{2ax}$

বা,  $2ax=bx(1+a^2{x}^2)$

বা, $2ax-bx(1+a^2{x}^2)=0$

বা, $x\{2a-b(1+a^2{x}^2\left)\right\}=0$

$\therefore$ x = 0

নির্ণেয় মান: x = 0

দেওয়া আছে,  $\frac{x^3+y^3}{x-y+z}=x(x+y)$

বা, $\frac{(x+y) (x^2-xy+y^2)}{x-y+z}=x(x+y)$

বা, $\frac{(x^2-xy+y^2)}{(x-y+z)}=x$ [উভয়পক্ষকে (x + y) দ্বারা ভাগ করে]

বা, $x^2-xy+y^2=x^2-xy+xz$

বা, $x^2-xy+y^2-x^2+xy=xz$

$\therefore$ $y^2=xz$

$\therefore$ x, y ও z ক্রমিক সমানুপাতী। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2-b^2}{b^2-c^2}$

বা, $(a^2+b^2)(b^2-c^2)=(a^2-b^2)(b^2+c^2)$

বা, $a^2{b}^2-a^2{c}^2+b^4-b^2{c}^2=a^2{b}^2+a^2{c}^2-b^4-b^2{c}^2$

বা, $a^2{b}^2-a^2{c}^2+b^4-b^2{c}^2-a^2{b}^2-a^2{c}^2+b^4+b^2{c}^2=0$

বা, $2b^4-2a^2{c}^2=0$

বা, $2(b^4-a^2{c}^2)=0$

বা, $b^4-a^2{c}^2=0$

বা, $b^4=a^2{c}^2$

বা, $(b^2{)}^2=(ac{)}^2$

$\therefore$ $b^2=ac$

$\therefore$ a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)

মনে করি, $\frac{x}{q+r}=\frac{y}{r+p}=\frac{z}{p+q}=k$

$\therefore$ x = qk + rk, y = rk + pk এবং z = pk + qk

বামপক্ষ = $\frac{p}{y+z-x}$

= $\frac{P}{rk+pk + pk+ qk - qk-rk}$

= $\frac{p}{2pk}$ = $\frac{1}{2k}$

ডানপক্ষ = $\frac{r}{x+y-z}$

=$\frac{r}{qk+rk+rk+pk-pk-qk}=\frac{r}{2rk}=\frac{1}{2k}$

$\therefore$ $\frac{P}{y+z-x}= \frac{r}{x+y-z}$ (দেখানো হলো)

মনে করি, px = qy = rz = k

$x=\frac{k}{p}$, $y=\frac{k}{q}$ এবং $z=\frac{k}{r}$

বামপক্ষ$=\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}$

$=\frac{{\left({\displaystyle \frac{k}{p}}\right)}^2}{\frac{k}{q}.\frac{k}{r}}\frac{{\left({\displaystyle \frac{k}{q}}\right)}^2}{\frac{k}{r}.\frac{k}{p}}\frac{{\left({\displaystyle \frac{k}{r}}\right)}^2}{\frac{k}{p}.\frac{k}{q}}$

$=\frac{\frac{k^2}{p^2}}{\frac{k^2}{qr}}\frac{\frac{k^2}{q^2}}{\frac{k^2}{rp}}\frac{\frac{k^2}{r^2}}{\frac{k^2}{pq}}$

= $\frac{qr}{p^2}+\frac{rp}{q^2}+\frac{pq}{r^2}$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}$ = $\frac{qr}{p^2}+\frac{rp}{q^2}+\frac{pq}{r^2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $4x^{-1}=a^{-1}+b^{-1}$

বা, $\frac{4}{x}= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}$

বা, $\frac{4}{x}= \frac{b + a}{ab}$

বা, x(a + b) = 4ab

$\therefore$ $x =\frac{4ab}{a + b}$

নির্ণেয় মান, $x =\frac{4ab}{a + b}$

দেওয়া আছে, $\frac{5}{x}=\frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}$

বা, $\frac{5}{x}= \frac{n + m}{2mn}$

বা, x(m + n) = 10mn

$\therefore$ $x=\frac{10mn}{m + n}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $m =\frac{8pq}{p + q}$

বা, $m=\frac{4p .2q}{p + q}$

বা, $\frac{m}{4p}=\frac{2q}{p + q}$

বা, $\frac{m + 4p}{m - 4p}=\frac{2q + p + q}{3q - p - q}$ [ যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{m + 4p}{m - 4p}=\frac{3q + p}{q - p}$

$\therefore$ $\frac{m - 4p}{m + 4p}=\frac{q + p}{3q - p}$  [ব্যস্তকরণ করে]

নির্ণেয় মান: $\frac{q + p}{3q - p}$

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

শ্রেণির ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা যথাক্রমে 3x জন ও 2x জন

মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা (3x+2x) জন= 5x জন

ছাত্র সংখ্যা মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার শতকরা $\frac{3x}{5x}\times 100\%$ জন = 60 জন

$\therefore$ ছাত্র সংখ্যা মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার 60%।

মনে করি, ক্রয়মূল্য 100 টাকা

20% লাভে বিক্রয়মূল্য = (100+20) টাকা= 120 টাকা

বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = 120 : 100

                                                     = 6 : 5 [20 দ্বারা ভাগ করে]

নির্ণেয় বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত 6 : 5.

মনে করি, ক্রয়মূল্য = 100 টাকা

5% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (1005) টাকা = 95 টাকা

ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = 100 : 95 = 20 : 19

নির্ণেয় ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 20 : 19.

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b}= \frac{b}{c}= \frac{2}{3}$

$\therefore$ a : b = 2 : 3 = 4 : 6

এবং b : c = 2 : 3 = 6 : 9

$\therefore$a : b : c = 4 : 6 : 9

সুতরাং a : c = 4 : 9.

এখানে, $\frac{x}{y}= \frac{2}{3}$

বা, 3x = 2y

বা, $x = \frac{2y}{3}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{6x + y}{3x + 2y}= \frac{6. {\displaystyle \frac{2y}{3}} +y}{3. {\displaystyle \frac{2y}{3}}+2y}$

$=\frac{4y + y}{2y + 2y}=\frac{5y}{4y}= \frac{5}{4}$

নির্ণেয় মান  $\frac{5}{4}$

এখানে, $2amn=x(m^2+n^2)$

বা, $\frac{a}{x}=\frac{m^2+n^2}{2mn}$

বা, $\frac{a+x}{a-x}=\frac{m^2+n^2+2mn}{m^2+n^2-2mn}$

$\therefore$ $\frac{a + x}{a - x}=\frac{m + n}{m - n}$

নির্ণেয় মান $\frac{m + n}{m - n}$

দেওয়া আছে,  $\frac{2x + 3y}{3x + 5y}= \frac{18}{29}$

বা, 58x + 87y = 54x + 90y

বা, 4x = 3y

বা, $\frac{x}{y}= \frac{3}{4}$

$\therefore$ x : y = 3 : 4