দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের পরিসর, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান বের কর এবং এই পরিমাপগুলোর মধ্যে যে সম্পর্ক পাওয়া যাবে সে সম্বন্ধে মন্তব্য কর।

উদ্দীপকে মানবিক বিভাগে চতুর্থ বিষয় হিসেবে পরিসংখ্যান নেওয়া দুজন ছাত্রের একাদশ শ্রেণির অর্ধবার্ষিক পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় ও জ্যামিতিক গড় দেওয়া হয়েছে। এই তথ্যের ভিত্তিতে প্রথমে ছাত্রদ্বয়ের প্রাপ্ত নম্বর নির্ণয় করে পরিসর, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান বের করতে হবে। পরিশেষে, প্রাপ্ত পরিমাপগুলোর মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্ক বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য করা হবে।

মনে করি, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে \(x_1\) ও \(x_2\)।

উদ্দীপক অনুসারে:

গাণিতিক গড় (\(\bar{x}\)) = \(\frac{x_1 + x_2}{2} = 25\)

\(\Rightarrow x_1 + x_2 = 50\) ...(i)

জ্যামিতিক গড় (GM) = \(\sqrt{x_1 x_2} = 15\)

\(\Rightarrow x_1 x_2 = 15^2 = 225\) ...(ii)

আমরা জানি, \( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

\( (x_1 - x_2)^2 = (50)^2 - 4(225) \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 2500 - 900 \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 1600 \)

\(\Rightarrow x_1 - x_2 = \sqrt{1600} = 40\) ...(iii) (ধরি \(x_1 > x_2\))

(i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

\((x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 50 + 40\)

\(2x_1 = 90\)

\(x_1 = 45\)

\(x_1\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(45 + x_2 = 50\)

\(x_2 = 50 - 45\)

\(x_2 = 5\)

সুতরাং, ছাত্রদ্বয়ের প্রাপ্ত নম্বর হলো 45 ও 5।

এখন, পরিমাপসমূহ নির্ণয়:

ক) পরিসর (Range):

পরিসর = সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান

= \(45 - 5 = 40\)

খ) গড় ব্যবধান (Mean Deviation):

গাণিতিক গড় (\(\bar{x}\)) = 25

\(MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}\)

\( = \frac{|45 - 25| + |5 - 25|}{2}\)

\( = \frac{|20| + |-20|}{2}\)

\( = \frac{20 + 20}{2}\)

\( = \frac{40}{2} = 20\)

গ) পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation):

পরিমিত ব্যবধান (\(\sigma\)) = \(\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}\)

\( = \sqrt{\frac{(45 - 25)^2 + (5 - 25)^2}{2}}\)

\( = \sqrt{\frac{(20)^2 + (-20)^2}{2}}\)

\( = \sqrt{\frac{400 + 400}{2}}\)

\( = \sqrt{\frac{800}{2}}\)

\( = \sqrt{400} = 20\)

প্রাপ্ত পরিমাপগুলোর মধ্যে সম্পর্ক:

উপরে নির্ণীত পরিসর, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধানের মানগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, ছাত্রদ্বয়ের প্রাপ্ত নম্বরের ক্ষেত্রে পরিসর হলো 40, গড় ব্যবধান 20 এবং পরিমিত ব্যবধানও 20। এই বিশেষ ক্ষেত্রে (যখন মাত্র দুটি পর্যবেক্ষণ থাকে এবং মানগুলো গড়ের উভয় পাশে সমান দূরত্বে থাকে), গড় ব্যবধান এবং পরিমিত ব্যবধান উভয়ই সমান হয়েছে। এমনকি, পরিসর (Range) গড় ব্যবধান বা পরিমিত ব্যবধানের দ্বিগুণ (40 = 2 * 20)। এর কারণ হলো, দুটি পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে তাদের গড় থেকে ব্যবধানের পরম মানগুলো (\(|x_i - \bar{x}|\)) সমান হয়, ফলে তাদের বর্গের যোগফল ও পরম মানের যোগফলের অনুপাত সমান হয়ে যায়। সাধারণত, পরিমিত ব্যবধান গড় ব্যবধানের চেয়ে বেশি বা সমান হয়, কিন্তু দুটি মান থাকায় এবং সেগুলো গড়ের উভয় পাশে প্রতিসম হওয়ায় এই সম্পর্কটি পাওয়া গেছে।

সুতরাং, উদ্দীপকের তথ্যের ভিত্তিতে দুটি ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের পরিসর 40, গড় ব্যবধান 20 এবং পরিমিত ব্যবধান 20। এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে যে, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান উভয়ই সমান। এই সম্পর্কটি শুধুমাত্র দুটি পর্যবেক্ষণের জন্য প্রযোজ্য যেখানে মানগুলো তাদের গাণিতিক গড় থেকে সমান দূরত্বে বিপরীত দিকে থাকে। এটি পরিসংখ্যানে ব্যবধান পরিমাপের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য যা সীমিত সংখ্যক ডেটার ক্ষেত্রে পরিলক্ষিত হয়।