উদ্দীপকে দুটি ভেক্টর $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$ এবং $\vec{u} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ পরস্পর লম্ব বলা হয়েছে। দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

অতএব, $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$

$(2\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$

$(2 \times 3) + (3 \times 2) + (-x \times -2) = 0$

$6 + 6 + 2x = 0$

$12 + 2x = 0$

$2x = -12$

$x = -6$

সুতরাং, নৌকার বেগ ভেক্টর, $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$

নৌকার বেগের মান, $v_b = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ একক।

স্রোতের বেগের মান, $v_c = |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}$ একক।

উদ্দীপকে বলা হয়েছে, সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 4 মিনিট সময় লাগে। সর্বনিম্ন পথে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে কার্যকরী বেগ হলো $v_{eff} = \sqrt{v_b^2 - v_c^2}$।

নদীর প্রস্থ $D$ হলে, সর্বনিম্ন পথে পার হওয়ার সময় $t_{shortest} = \frac{D}{v_{eff}}$

$4 = \frac{D}{\sqrt{7^2 - (\sqrt{17})^2}}$

$4 = \frac{D}{\sqrt{49 - 17}}$

$4 = \frac{D}{\sqrt{32}}$

$D = 4\sqrt{32} = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ একক। এটি নদীর প্রস্থ।

এবার প্রশ্ন অনুযায়ী, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে কিনা তা যাচাই করা যাক। ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে লম্বভাবে চালানো হয়। এক্ষেত্রে নৌকার বেগ ($v_b$) নদীর প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় $t_{min} = \frac{D}{v_b}$

এই সময়ে নৌকাটি স্রোতের কারণে স্রোতের দিকে $s$ পরিমাণ সরে যায় (drift)।

$s = v_c \times t_{min} = v_c \times \frac{D}{v_b}$

এই ক্ষেত্রে, নৌকাটি কর্তৃক অতিক্রান্ত প্রকৃত দূরত্ব $L$ (লব্ধি সরণ) হবে:

$L = \sqrt{D^2 + s^2}$

$L = \sqrt{D^2 + \left(\frac{v_c D}{v_b}\right)^2}$

$L = \sqrt{D^2 \left(1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2\right)}$

$L = D \sqrt{1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2}$

যেহেতু, $v_c = \sqrt{17}$ এবং $v_b = 7$, $v_c \neq 0$। তাই $\left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2$ একটি ধনাত্মক রাশি।

সুতরাং, $1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2 > 1$

এখান থেকে আমরা পাই, $\sqrt{1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2} > 1$

সুতরাং, $L > D$।

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব ($L$) অতিক্রম করতে হবে। এর কারণ হলো, নৌকাটি যখন নদীর প্রস্থ বরাবর যাত্রা করে, তখন স্রোতের কারণে এটি downstream (স্রোতের অনুকূলে) কিছুটা সরে যায়, ফলে এর লব্ধি সরণ নদীর প্রস্থের চেয়ে বেশি হয়।

Satt AI

1 week ago

536

MCQ: 539 CQ: 62

Practice

ভেক্টর

১.১ সূচনা

Introduction

বিজ্ঞানের বিভিন্ন বিষয় সুনির্দিষ্টভাবে জানতে হলে কোন বা কোন ধরনের পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পদার্থের যে সব ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি (quantity) বলে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, বেগ, কাজ ইত্যাদি প্রত্যেকে এক একটি রাশি। পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোন রাশিকে ভৌত (physical) রাশি বলে।

কিছু কিছু ভৌত রাশিকে শুধুমাত্র মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়। আবার অনেক ভৌত রাশি রয়েছে যাদেরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ই প্রয়োজন হয়। তাই ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য অনুসারে ভৌত রাশিগুলোকে আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করতে পারি ; যথা—

(ক) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি (Scalar quantity)।

(খ) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বা সদিক রাশি (Vector quantity)।

(ক) স্কেলার রাশি :

যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে, কিন্তু দিক নেই, তাদেরকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, তাপ, বৈদ্যুতিক বিভব, দ্রুতি, কাজ ইত্যাদি কেলার বা অদিক রাশি।

(খ) ভেক্টর রাশি :

যে সব ভৌত রাশির মান এবং দিক দুই-ই আছে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন ইত্যাদি ভেক্টর বা দিক রাশি।

১.২ ভেক্টর রাশির নির্দেশনা

Representation of a vector

কোন একটি ভেক্টর রাশিকে দুভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে, যথা- (১) অক্ষর দ্বারা এবং (২) সরলরেখা দ্বারা।

১। অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চারভাবে প্রকাশ করা হয়, যথা-

(ক) কোন অক্ষরের উপর তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখা দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। সাধারণভাবে শুধু অক্ষর দ্বারাও রাশিটির মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ | A | বা A

(খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ । A

(গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং মান রূপ | $A$ |

(ঘ) মোটা হরফের অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয়। যেমন A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং এর মান A ভেক্টর রাশি নির্দেশের ক্ষেত্রে (ক)-এ ব্যবহৃত চিহ্নই শ্রেয়। তাই এই বই-এ আমরা এই পদ্ধতিই ব্যবহার করব।

২। সরলরেখা দ্বারা ভেক্টর রাশি নির্দেশ করতে হলে রাশিটির দিকে বা সমান্তরালে একটি সরলরেখা অংকন করে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে উত্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। এ পদ্ধতিকে জ্যামিতিক উপায়ে ভেক্টরের নির্দেশনাও বলে।

মনে করি, একটি ভেক্টর রাশির মান 5 এবং এর দিক পূর্ব দিক। একে সরলরেখা দ্বারা প্রকাশ করতে হবে। এখন AC একটি সরলরেখা পূর্ব- পশ্চিম দিক বরাবর অংকন করে AC সরলরেখা হতে সুবিধামত দৈর্ঘ্যকে একক ধরে এর 5 গুণ দৈর্ঘ্য AB কেটে নিই এবং AB-এর শেষ প্রান্তে পূর্ব দিকে তীর চিহ্ন যুক্ত করি [চিত্র ১:১]। এই তীর চিহ্নিত সরলরেখাই ভেক্টর রাশিটি নির্দেশ করবে। ভেক্টর রাশি নির্দেশী সরলরেখার তীর চিহ্নিত প্রান্ত B-কে শীর্ষবিন্দু বা অন্ত বিন্দু এবং অপর প্রান্ত A-কে আদিবিন্দু বা মূলবিন্দু বা পাদবিন্দু বলে।

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র