ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রন্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে কি-না-গাণিতিকভাবে যাচাই কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে। এটি গাণিতিকভাবে যাচাই করা হলো:

উদ্দীপকে দুটি ভেক্টর \(\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}\) এবং \(\vec{u} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}\) পরস্পর লম্ব বলা হয়েছে। দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।

অতএব, \(\vec{v} \cdot \vec{u} = 0\)

\((2\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0\)

\((2 \times 3) + (3 \times 2) + (-x \times -2) = 0\)

\(6 + 6 + 2x = 0\)

\(12 + 2x = 0\)

\(2x = -12\)

\(x = -6\)

সুতরাং, নৌকার বেগ ভেক্টর, \(\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}\)

নৌকার বেগের মান, \(v_b = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7\) একক।

স্রোতের বেগের মান, \(v_c = |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}\) একক।

উদ্দীপকে বলা হয়েছে, সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 4 মিনিট সময় লাগে। সর্বনিম্ন পথে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে কার্যকরী বেগ হলো \(v_{eff} = \sqrt{v_b^2 - v_c^2}\)।

নদীর প্রস্থ \(D\) হলে, সর্বনিম্ন পথে পার হওয়ার সময় \(t_{shortest} = \frac{D}{v_{eff}}\)

\(4 = \frac{D}{\sqrt{7^2 - (\sqrt{17})^2}}\)

\(4 = \frac{D}{\sqrt{49 - 17}}\)

\(4 = \frac{D}{\sqrt{32}}\)

\(D = 4\sqrt{32} = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) একক। এটি নদীর প্রস্থ।

এবার প্রশ্ন অনুযায়ী, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে কিনা তা যাচাই করা যাক। ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে লম্বভাবে চালানো হয়। এক্ষেত্রে নৌকার বেগ (\(v_b\)) নদীর প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় \(t_{min} = \frac{D}{v_b}\)

এই সময়ে নৌকাটি স্রোতের কারণে স্রোতের দিকে \(s\) পরিমাণ সরে যায় (drift)।

\(s = v_c \times t_{min} = v_c \times \frac{D}{v_b}\)

এই ক্ষেত্রে, নৌকাটি কর্তৃক অতিক্রান্ত প্রকৃত দূরত্ব \(L\) (লব্ধি সরণ) হবে:

\(L = \sqrt{D^2 + s^2}\)

\(L = \sqrt{D^2 + \left(\frac{v_c D}{v_b}\right)^2}\)

\(L = \sqrt{D^2 \left(1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2\right)}\)

\(L = D \sqrt{1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2}\)

যেহেতু, \(v_c = \sqrt{17}\) এবং \(v_b = 7\), \(v_c \neq 0\)। তাই \(\left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2\) একটি ধনাত্মক রাশি।

সুতরাং, \(1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2 > 1\)

এখান থেকে আমরা পাই, \(\sqrt{1 + \left(\frac{v_c}{v_b}\right)^2} > 1\)

সুতরাং, \(L > D\)।

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব (\(L\)) অতিক্রম করতে হবে। এর কারণ হলো, নৌকাটি যখন নদীর প্রস্থ বরাবর যাত্রা করে, তখন স্রোতের কারণে এটি downstream (স্রোতের অনুকূলে) কিছুটা সরে যায়, ফলে এর লব্ধি সরণ নদীর প্রস্থের চেয়ে বেশি হয়।