দুপুর 1 টা 15 মিনিটে 1 জন এস.এস.সি পরীক্ষার ফলাফল জানতে পারল। 1 টা 20 মিনিটে জানল 8 জন, 1 টা 25 মিনিটে জানল 27 জন। এভাবে ফলাফল ছড়িয়ে পড়ল।

এখানে, 1 টা 15 মিনিটে ফলাফল জানতে পারবে 1 জন বা 1³ জন

            1 টা 20 মিনিটে     “             ”          "       8 জন বা 2³ জন

            1 টা 25 মিনিটে      “            ”          "       27 জন বা 3³ জন

এখানে, সময় একটি সমান্তর ধারা গঠন করে যার প্রথম পদ,

a = 1 : 15

সাধারণ অন্তর, d = 1 : 20 -1 : 15 = 0 : 5

∴ ধারাটি হলো: 1 : 15 + 1 : 20 + 1 : 25 + …………..

অপরদিকে, ফলাফলপ্রাপ্ত লোকগুলো স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টিরূপে প্রকাশ পায়। অর্থাৎ 1³+2³+3³ ……….

। টা 15 মিনিটে ফলাফল জানতে পারে 1  বা 1³ জন

1 টা 20    “            ”           “           ”   8   “  2³   ”

1 টা 25    “            ”           “            ”  27  “   3³   ”

1 টা 30     “           ”          “             ”  64   “   4³   ”

1 টা 35     “           ”          “             ” 125   “   5³   ”

1 টা 40    “            ”         “              ” 216  “    6³  ”

1 টা 45    “            ”          “           "  343    ”    7³   "

1 টা 50    “            ”          “          ”   512     “    8³   ”

1 টা 55    “            ”          “          ”  729     “     9³   ”

2 টা 00    “           ”          “          ” 1000    “     10³  ”

2 টা 05    “           ”          “          ” 1331     “     11³    ”

2 টা 10     “            ”          “          ” 1728     “     12³   ”

∴ 2 টা 10 মিনিটে মোট 1728 জন ফলাফল জানতে পারবে। এবং 1 টা 15 মিনিট হতে 2 টা 10 মিনিট পর্যন্ত মোট ফলাফল জানতে পারবে $(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+{10}^3+{11}^3+{12}^3)$ জন

এখানে, n = 12

∴ আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি

$={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

$={\left\{\frac{12(12+1)}{2}\right\}}^2$

∵ [n = 12]

$={(6 \times 13)}^2$

= 6084

∴ 2 টা 10 মিনিট পর্যন্ত মোট ফলাফল জানতে পারবে 6084 জন ।

ফলাফল প্রাপ্ত লোকসংখ্যার ধারা

$1^3+2^3+3^3+.............+n^3$

এখানে, $1^3+2^3+3^3+$ ………… $n^3=6175225$

বা, ${\left\{\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right\}}^2$

বা, $\frac{n\left(n+1\right)}{2}=2485$

বা, n(n + 1) = 4970

বা, $n^2+n-4970=0$

বা, $n^2+71n-70n-4970=0$

বা, n(n + 71) - 70(n + 71) = 0

বা, (n + 71)(n - 70) = 0

হয়, n + 71 = 0

∴ n $\ne$-71

∴ n = 70

অথবা n - 70 = 0

∴ n = 70

'ক' হতে পাই, 1 : 15+1 : 20 +1 : 25 + ………………..

এখানে, প্রথম পদ, a = 1 : 15 বা 75 মিনিট

সাধারণ অন্তর, d = 1 : 20 - 1 : 15 = 5 মিনিট

পদসংখ্যা, n = 70

∴ 70 তম পদ = a + (70 - 1) d

= 75 + 69 $\times$ 5

= 75+345 = 420

সুতরাং (420$÷$60) বা 7 টার সময় 6175225 জন ফলাফল জানতে পারবে।