দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে f(A) নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,

\[C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

আমরা জানি, \((I)\) হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)। যেহেতু \(C\) একটি \(2 \times 2\) আকারের ম্যাট্রিক্স, তাই \(I\) হবে একটি \(2 \times 2\) আকারের অভেদক ম্যাট্রিক্স।

\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

এখন, আমরা \((I-C)\) নির্ণয় করি:

\[I-C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

\[I-C = \begin{bmatrix} 1-1 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-0 \end{bmatrix}\]

\[I-C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

কোনো ম্যাট্রিক্স \((A)\) কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix) বলা হয় যদি \(A^2 = A\) হয়। এখানে আমাদের দেখাতে হবে যে \((I-C)\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ, \((I-C)^2 = (I-C)\) হবে।

এখন, \((I-C)^2\) নির্ণয় করি:

\[(I-C)^2 = \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)^2\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} (0 \cdot 0 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \\ (0 \cdot 0 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} (0 + 0) & (0 + 1) \\ (0 + 0) & (0 + 1) \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

আমরা দেখেছি যে, \((I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \((I-C) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)।

সুতরাং, \((I-C)^2 = (I-C)\)।

অতএব, \((I-C)\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix)। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]

প্রশ্নানুসারে, \( B = A^T \) নির্ণয় করতে হবে।

সুতরাং,

\[ B = A^T = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]

\( B^{-1} \) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে \( |B| \) নির্ণয় করি।

\[ |B| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ |B| = 2(0 \cdot 1 - 3 \cdot 3) - (-2)(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 2(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) \]

\[ |B| = 2(0 - 9) + 2(1 - 3) + 2(3 - 0) \]

\[ |B| = 2(-9) + 2(-2) + 2(3) \]

\[ |B| = -18 - 4 + 6 \]

\[ |B| = -16 \]

যেহেতু \( |B| \neq 0 \), সুতরাং \( B^{-1} \) বিদ্যমান।

এখন, \( B \) ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো নির্ণয় করি:

\[ C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(0 - 9) = -9 \]

\[ C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 - 3) = -1(-2) = 2 \]

\[ C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 0) = 3 \]

\[ C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1(-2 - 6) = -1(-8) = 8 \]

\[ C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 - 2) = 0 \]

\[ C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1(6 - (-2)) = -1(8) = -8 \]

\[ C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1(-6 - 0) = -6 \]

\[ C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1(6 - 2) = -1(4) = -4 \]

\[ C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-2)) = 2 \]

সহগুণক ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\[ C = \begin{bmatrix} -9 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & -8 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix} \]

এখন, অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, \( \text{adj}(B) = C^T \)

\[ \text{adj}(B) = \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix} \]

অতএব, \( B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) \)

\[ B^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix} \]

\[ B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{-9}{-16} & \frac{8}{-16} & \frac{-6}{-16} \\ \frac{2}{-16} & \frac{0}{-16} & \frac{-4}{-16} \\ \frac{3}{-16} & \frac{-8}{-16} & \frac{2}{-16} \end{bmatrix} \]

\[ B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{9}{16} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{3}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix} \]