দৃশ্যকল্প-১: $f (x) = x^{2} + 3 x - 2$

দৃশ্যকল্প-২ : $A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}]$

B = A^T হলে B^-1 নির্ণয় কর।

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

157

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]

প্রশ্নানুসারে, $ B = A^T $ নির্ণয় করতে হবে।

সুতরাং,

\[ B = A^T = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]

$ B^{-1} $ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে $ |B| $ নির্ণয় করি।

\[ |B| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ |B| = 2(0 \cdot 1 - 3 \cdot 3) - (-2)(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 2(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) \]

\[ |B| = 2(0 - 9) + 2(1 - 3) + 2(3 - 0) \]

\[ |B| = 2(-9) + 2(-2) + 2(3) \]

\[ |B| = -18 - 4 + 6 \]

\[ |B| = -16 \]

যেহেতু $ |B| \neq 0 $, সুতরাং $ B^{-1} $ বিদ্যমান।

এখন, $ B $ ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো নির্ণয় করি:

\[ C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(0 - 9) = -9 \]

\[ C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 - 3) = -1(-2) = 2 \]

\[ C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 0) = 3 \]

\[ C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1(-2 - 6) = -1(-8) = 8 \]

\[ C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 - 2) = 0 \]

\[ C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1(6 - (-2)) = -1(8) = -8 \]

\[ C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1(-6 - 0) = -6 \]

\[ C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1(6 - 2) = -1(4) = -4 \]

\[ C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-2)) = 2 \]

সহগুণক ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\[ C = \begin{bmatrix} -9 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & -8 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix} \]

এখন, অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, $ \text{adj}(B) = C^T $

\[ \text{adj}(B) = \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix} \]

অতএব, $ B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) $

\[ B^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix} \]

\[ B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{-9}{-16} & \frac{8}{-16} & \frac{-6}{-16} \\ \frac{2}{-16} & \frac{0}{-16} & \frac{-4}{-16} \\ \frac{3}{-16} & \frac{-8}{-16} & \frac{2}{-16} \end{bmatrix} \]

\[ B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{9}{16} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{3}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix} \]

Satt AI

2 weeks ago

157

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

$c = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ হলে দেখাও যে, (I-C) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2025

204

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

আমরা জানি, $(I)$ হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)। যেহেতু $C$ একটি $2 \times 2$ আকারের ম্যাট্রিক্স, তাই $I$ হবে একটি $2 \times 2$ আকারের অভেদক ম্যাট্রিক্স।

\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

এখন, আমরা $(I-C)$ নির্ণয় করি:

\[I-C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

\[I-C = \begin{bmatrix} 1-1 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-0 \end{bmatrix}\]

\[I-C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

কোনো ম্যাট্রিক্স $(A)$ কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix) বলা হয় যদি $A^2 = A$ হয়। এখানে আমাদের দেখাতে হবে যে $(I-C)$ একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ, $(I-C)^2 = (I-C)$ হবে।

এখন, $(I-C)^2$ নির্ণয় করি:

\[(I-C)^2 = \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)^2\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} (0 \cdot 0 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \\ (0 \cdot 0 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} (0 + 0) & (0 + 1) \\ (0 + 0) & (0 + 1) \end{bmatrix}\]

\[(I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

আমরা দেখেছি যে, $(I-C)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ এবং $(I-C) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

সুতরাং, $(I-C)^2 = (I-C)$।

অতএব, $(I-C)$ একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix)। (প্রমাণিত)

Satt AI

2 weeks ago

204

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে f(A) নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2025

162

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

দৃশ্যকল্প-১: $f(x) = x^2 + 3x - 2$

দৃশ্যকল্প-২ : $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

আমাদের $f(A)$ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, যদি $f(x) = x^2 + 3x - 2$ হয়, তবে $f(A) = A^2 + 3A - 2I$ হবে, যেখানে $I$ হলো $A$ এর সমান মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এখানে, $A$ একটি 3x3 ম্যাট্রিক্স, তাই $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ হবে।

প্রথমে $A^2$ নির্ণয় করি:

$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} (2 \times 2) + (1 \times -2) + (1 \times 2) & (2 \times 1) + (1 \times 0) + (1 \times 3) & (2 \times 1) + (1 \times 3) + (1 \times 1) \\ (-2 \times 2) + (0 \times -2) + (3 \times 2) & (-2 \times 1) + (0 \times 0) + (3 \times 3) & (-2 \times 1) + (0 \times 3) + (3 \times 1) \\ (2 \times 2) + (3 \times -2) + (1 \times 2) & (2 \times 1) + (3 \times 0) + (1 \times 3) & (2 \times 1) + (3 \times 3) + (1 \times 1) \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} 4 - 2 + 2 & 2 + 0 + 3 & 2 + 3 + 1 \\ -4 + 0 + 6 & -2 + 0 + 9 & -2 + 0 + 3 \\ 4 - 6 + 2 & 2 + 0 + 3 & 2 + 9 + 1 \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix}$

এবার $3A$ নির্ণয় করি:

$3A = 3 \times \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 2 & 3 \times 1 & 3 \times 1 \\ 3 \times -2 & 3 \times 0 & 3 \times 3 \\ 3 \times 2 & 3 \times 3 & 3 \times 1 \end{bmatrix}$

$3A = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix}$

এবং $2I$ নির্ণয় করি:

$2I = 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 0 & 2 \times 0 \\ 2 \times 0 & 2 \times 1 & 2 \times 0 \\ 2 \times 0 & 2 \times 0 & 2 \times 1 \end{bmatrix}$

$2I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

এখন, $f(A) = A^2 + 3A - 2I$ এ মানগুলো বসিয়ে পাই:

$f(A) = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

$f(A) = \begin{bmatrix} 4+6-2 & 5+3-0 & 6+3-0 \\ 2-6-0 & 7+0-2 & 1+9-0 \\ 0+6-0 & 5+9-0 & 12+3-2 \end{bmatrix}$

$f(A) = \begin{bmatrix} 8 & 8 & 9 \\ -4 & 5 & 10 \\ 6 & 14 & 13 \end{bmatrix}$

অতএব, নির্ণেয় $f(A) = \begin{bmatrix} 8 & 8 & 9 \\ -4 & 5 & 10 \\ 6 & 14 & 13 \end{bmatrix}$

Satt AI

2 weeks ago

162

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

B = AT হলে B-1 নির্ণয় কর।

Related Question

Related Question

Promotion

B = A^T হলে B^-1 নির্ণয় কর।