দৃশ্যকল্প-১ ও দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণদ্বয়ের মধ্যে কোনটির তরঙ্গদৈর্ঘ্য বেশি গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো। (উচ্চতর দক্ষতা)

আলোর ফোটনের শক্তি তার তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, কোনো বিকিরণের শক্তি বেশি হলে তার তরঙ্গদৈর্ঘ্য কম হবে এবং শক্তি কম হলে তরঙ্গদৈর্ঘ্য বেশি হবে। দৃশ্যকল্প-১ ও দৃশ্যকল্প-২ এ প্রাপ্ত বিকিরণদ্বয়ের তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করে তাদের মধ্যে কোনটি বেশি তা নিচে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো:

দৃশ্যকল্প-১ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-১ এ একটি H-পরমাণুর ইলেকট্রনকে উচ্চ শক্তিস্তর (n=3) থেকে নিম্ন শক্তিস্তর (n=1) এ স্থানান্তরিত হতে দেখা যাচ্ছে, যার ফলে শক্তি বিকিরিত হচ্ছে। হাইড্রোজেনের n তম শক্তিস্তরের জন্য ইলেকট্রনের শক্তি, \(E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} J\)।

n=1 শক্তিস্তরের শক্তি, \(E_1 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{1^2} = -2.18 \times 10^{-18} J\)
n=3 শক্তিস্তরের শক্তি, \(E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{3^2} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} = -0.2422 \times 10^{-18} J\)

ইলেকট্রনের n=3 থেকে n=1 শক্তিস্তরে স্থানান্তরের ফলে বিকিরিত শক্তির পরিমাণ (\(\Delta E_1\)):
\(\Delta E_1 = E_3 - E_1 = (-0.2422 \times 10^{-18}) - (-2.18 \times 10^{-18})\)
\(\Delta E_1 = (2.18 - 0.2422) \times 10^{-18} J = 1.9378 \times 10^{-18} J\)

আমরা জানি, বিকিরিত শক্তি, \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
যেখানে, h = প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক = \(6.626 \times 10^{-34} J \cdot s\)
c = আলোর বেগ = \(3 \times 10^8 m/s\)
\(\lambda\) = তরঙ্গদৈর্ঘ্য
সুতরাং, দৃশ্যকল্প-১ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(\lambda_1\)):
\(\lambda_1 = \frac{hc}{\Delta E_1} = \frac{6.626 \times 10^{-34} J \cdot s \times 3 \times 10^8 m/s}{1.9378 \times 10^{-18} J}\)
\(\lambda_1 = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{1.9378 \times 10^{-18}} m = 1.0258 \times 10^{-7} m = 102.58 nm\)

দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-২ এ একটি উৎস হতে \(3.03 \times 10^{-19} J\) শক্তিসম্পন্ন বিকিরণ উৎপন্ন হয়।
প্রদত্ত শক্তি, \(E_2 = 3.03 \times 10^{-19} J\)

দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(\lambda_2\)):
\(\lambda_2 = \frac{hc}{E_2} = \frac{6.626 \times 10^{-34} J \cdot s \times 3 \times 10^8 m/s}{3.03 \times 10^{-19} J}\)
\(\lambda_2 = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{3.03 \times 10^{-19}} m = 6.560 \times 10^{-7} m = 656.0 nm\)

তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তুলনা:
দৃশ্যকল্প-১ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda_1 = 102.58 nm\)
দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda_2 = 656.0 nm\)

পর্যবেক্ষণে দেখা যায় যে, দৃশ্যকল্প-১ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(102.58 nm\)) অপেক্ষা দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(656.0 nm\)) অনেক বেশি। সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ এর বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য বেশি।