দৃশ্যকল্প-১:

$X=ABC+\overline{A}B\overline{C}+ \overline{A} \overline{B} \overline{C}+ A\overline{B}C$

দৃশ্যকল্প-২:

A	B	X
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

রেজিস্টার হলো কতগুলো ফ্লিপ-ফ্লপের সমষ্টি যা ডিজিটাল ডেটা বা বাইনারি তথ্য অস্থায়ীভাবে সংরক্ষণ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি সিপিইউ (CPU)-এর একটি ক্ষুদ্র, দ্রুত মেমরি ইউনিট।

ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্স ও বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ দুটি সূত্র, যা একটি যৌক্তিক রাশির পূরক (complement) নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করে। এই উপপাদ্য দুটি হলো: ১. \(\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) এবং ২. \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)। এই উপপাদ্যগুলি জটিল বুলিয়ান রাশিকে সরল করতে এবং NAND ও NOR গেট ব্যবহার করে যেকোনো মৌলিক গেট বাস্তবায়ন করতে ব্যবহৃত হয়।

সত্যক সারণির সাহায্যে ডি-মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণ করা যায়। প্রথম উপপাদ্য \(\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) প্রমাণের জন্য, A ও B এর সম্ভাব্য সকল ইনপুট মানের জন্য \(\overline{A+B}\) এবং \(\overline{A} \cdot \overline{B}\) এর মান নির্ণয় করা হয়। যদি উভয় অংশের মান সকল ক্ষেত্রে সমান হয়, তাহলে উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়। একই পদ্ধতিতে দ্বিতীয় উপপাদ্য \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)ও প্রমাণ করা যায়, যেখানে \(\overline{A \cdot B}\) এবং \(\overline{A} + \overline{B}\) এর মান তুলনা করে উপপাদ্যটি সত্যতা যাচাই করা হয়।

দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত বুলিয়ান সমীকরণটি হলো \(X=ABC+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}C\)। এই সমীকরণের সত্যক সারণি নিচে অঙ্কন করা হলো:

সত্যক সারণি (Truth Table) হলো একটি যৌক্তিক সার্কিটের সকল সম্ভাব্য ইনপুট (Input) সমন্বয়ের জন্য তার আউটপুট (Output) প্রদর্শনের একটি তালিকা। এর মাধ্যমে একটি বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের কার্যকরী অবস্থা এবং এর সত্যতা সহজেই যাচাই করা যায়। এটি ডিজিটাল লজিক সার্কিট ডিজাইনে অপরিহার্য এবং এটি যেকোনো বুলিয়ান ফাংশনের ইনপুট-আউটপুট সম্পর্ককে একটি সারণির মাধ্যমে সুবিন্যস্তভাবে উপস্থাপন করে।

দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণে A, B এবং C তিনটি ইনপুট ভেরিয়েবল রয়েছে, তাই এখানে \(2^3 = 8\) টি সম্ভাব্য ইনপুট কম্বিনেশন থাকবে। এই কম্বিনেশনগুলোর জন্য প্রতিটি পদের (মিনটার্ম) মান নির্ণয় করে সেগুলোর যৌক্তিক যোগফলের (OR) ভিত্তিতে X এর চূড়ান্ত মান বের করা হয়েছে। যে সকল মিনটার্মের জন্য আউটপুট 1 হয়, সেগুলোকে যোগ করে চূড়ান্ত এক্সপ্রেশনটি পাওয়া যায়।

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সত্যক সারণিটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, ইনপুট A ও B উভয়ই 0 হলে আউটপুট X এর মান 1 এবং অন্য সকল ক্ষেত্রে আউটপুট X এর মান 0। এটি নর (NOR) গেইটের সত্যক সারণি। নর গেইট একটি সার্বজনীন গেইট, যার মাধ্যমে যেকোনো মৌলিক লজিক গেইট (অ্যান্ড, অর, নট) এবং ফলস্বরূপ যেকোনো বুলিয়ান সমীকরণ বাস্তবায়ন করা সম্ভব। প্রশ্নানুসারে, দৃশ্যকল্প-১ এর সরলীকৃত সমীকরণকে এই নর গেইট দ্বারা বাস্তবায়ন সম্ভব কিনা তা বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথমে দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত বুলিয়ান সমীকরণটি সরলীকরণ করা যাক:

\(X = ABC + \bar{A}B\bar{C} + \bar{A}\bar{B}\bar{C} + A\bar{B}C\)

কার্নো ম্যাপ (K-map) ব্যবহার করে সরলীকরণ:

গ্রুপিং (Grouping) করে পাই:

    
• গ্রুপ-১ (000, 010): \(\bar{A}\bar{B}\bar{C} + \bar{A}B\bar{C} = \bar{A}\bar{C}(\bar{B}+B) = \bar{A}\bar{C}\)
    
• গ্রুপ-২ (101, 111): \(A\bar{B}C + ABC = AC(\bar{B}+B) = AC\)

অতএব, সরলীকৃত সমীকরণটি হলো: \(X = \bar{A}\bar{C} + AC\)

সরলীকৃত সমীকরণ \(X = \bar{A}\bar{C} + AC\) একটি এক্স-নর (XNOR) গেইটের সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২ এ নির্দেশিত নর গেইট যেহেতু একটি সার্বজনীন গেইট, তাই নর গেইট ব্যবহার করে মৌলিক গেইটসমূহ (নট, অ্যান্ড, অর) বাস্তবায়ন করা সম্ভব। এরপর এই মৌলিক গেইটগুলোর মাধ্যমে এক্স-নর গেইটের সমীকরণটি তৈরি করা যাবে। যেমন:

    
• নট (NOT) গেইট: একটি নর গেইটের উভয় ইনপুটকে একই ভেরিয়েবলের সাথে যুক্ত করলে নট ফাংশন পাওয়া যায়। \( \overline{A+A} = \bar{A} \)
    
• অর (OR) গেইট: একটি নর গেইটের আউটপুটকে আরেকটি নর (নট হিসাবে ব্যবহৃত) গেইটের ইনপুট হিসাবে দিলে অর ফাংশন পাওয়া যায়। \( \overline{\overline{A+B}} = A+B \)
    
• অ্যান্ড (AND) গেইট: নর গেইট ব্যবহার করে অ্যান্ড ফাংশন পেতে হলে, ইনপুটগুলোকে প্রথমে নট করে তারপর নর গেইটে দিলে অ্যান্ড ফাংশন পাওয়া যায় (ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য অনুযায়ী)। \( \overline{\bar{A}+\bar{B}} = A \cdot B \)

সুতরাং, \(X = \bar{A}\bar{C} + AC\) সমীকরণটি নর গেইট দিয়ে বাস্তবায়ন করতে হলে, প্রথমে A এবং C ইনপুটগুলোর জন্য নট গেইট তৈরি করে \(\bar{A}\) ও \(\bar{C}\) বের করতে হবে। এরপর \(\bar{A}\bar{C}\) অংশটি তৈরি করতে A এবং C কে একটি নর গেইটে দিতে হবে (ফলস্বরূপ \(\overline{A+C}\) যা \(\bar{A}\bar{C}\) এর সমতুল্য)। একইভাবে \(AC\) অংশটি তৈরি করতে \(\bar{A}\) এবং \(\bar{C}\) কে একটি নর গেইটে দিতে হবে (ফলস্বরূপ \(\overline{\bar{A}+\bar{C}}\) যা \(AC\) এর সমতুল্য)। সবশেষে, এই দুটি পদের (অর্থাৎ \(\bar{A}\bar{C}\) এবং \(AC\)) আউটপুটকে একটি অর গেইটে (নর গেইট ব্যবহার করে) সংযুক্ত করলে সম্পূর্ণ সমীকরণটি বাস্তবায়িত হবে।

উপসংহারে বলা যায়, দৃশ্যকল্প-২ এ নির্দেশিত নর গেইট একটি সার্বজনীন গেইট হওয়ার কারণে এর সাহায্যে যেকোনো বুলিয়ান সমীকরণ বাস্তবায়ন করা সম্ভব। দৃশ্যকল্প-১ এর সরলীকৃত সমীকরণটি নর গেইট ব্যবহার করে ধাপে ধাপে বাস্তবায়ন করা যায়, যা প্রমাণ করে যে দৃশ্যকল্প-২ এর গেইট দিয়ে দৃশ্যকল্প-১ এর সরলীকৃত সমীকরণকে বাস্তবায়ন করা সম্ভব।