দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,  $co{s}^2(\pi -B-C)+co{s}^2(\pi -C-A)$ $co{s}^2(\pi -A-B)=1-2cos(\pi -A)cos(\pi -B)cos(\pi -C)$

প্রমাণ করতে হবে যে, \(2\tan 20^\circ = \tan 55^\circ - \tan 35^\circ\)

ডানপক্ষ \(=\) \(\tan 55^\circ - \tan 35^\circ\)

\(=\) \(\frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} - \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}\)

\(=\) \(\frac{\sin 55^\circ \cos 35^\circ - \cos 55^\circ \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}\)

\(=\) \(\frac{\sin (55^\circ - 35^\circ)}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}\)

\(=\) \(\frac{\sin 20^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}\)

আমরা জানি, \(2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)\)

সুতরাং, \(2\cos 55^\circ \cos 35^\circ = \cos(55^\circ + 35^\circ) + \cos(55^\circ - 35^\circ)\)

\(=\) \(\cos 90^\circ + \cos 20^\circ\)

\(=\) \(0 + \cos 20^\circ\)

\(=\) \(\cos 20^\circ\)

এখন, ডানপক্ষে এই মান বসিয়ে পাই,

ডানপক্ষ \(=\) \(\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2} (2\cos 55^\circ \cos 35^\circ)}\)

\(=\) \(\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \cos 20^\circ}\)

\(=\) \(2 \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}\)

\(=\) \(2 \tan 20^\circ\)

\(=\) বামপক্ষ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন বিবরণ: উচ্চতর গণিত - ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রমাণ

প্রদত্ত প্রশ্নটি উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের ত্রিকোণমিতি অংশের অন্তর্ভুক্ত একটি সৃজনশীল প্রশ্ন, যা উচ্চ মাধ্যমিক স্তরের শিক্ষার্থীদের জন্য প্রযোজ্য। প্রশ্নটির নির্ধারিত মান ৪, যা এটিকে 'ঘ' বা উচ্চতর দক্ষতা-ভিত্তিক প্রশ্নের ক্যাটাগরিতে স্থান দিয়েছে। এই ধরনের প্রশ্নে শিক্ষার্থীদের উদ্দীপক থেকে তথ্য বিশ্লেষণ করে সমস্যা সমাধান এবং উচ্চতর গাণিতিক ধারণা প্রয়োগের সক্ষমতা যাচাই করা হয়।

প্রশ্নটি দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সম্পর্কাবলি \(x = a - 120^\circ\) এবং \(y = a + 120^\circ\) এর আলোকে একটি ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রমাণের নির্দেশ দেয়। শিক্ষার্থীরা এই সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে অভেদের বামপক্ষ থেকে ডানপক্ষ প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় গাণিতিক ধাপসমূহ অনুসরণ করবে। বিশেষত, \( \frac{x+y}{2} \) এর মান নির্ণয় এবং কোণগুলোর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা এখানে গুরুত্বপূর্ণ।

প্রমাণ করতে বলা হয়েছে যে \(cos^2x+cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)+cos^2=\frac{3}{2}\)। তবে, প্রশ্নটিতে প্রদেয় রাশিমালার শেষ পদটি অসম্পূর্ণ রয়েছে (+cos^2 এর পরে কোণের মান অনুপস্থিত)। এই অসম্পূর্ণতার কারণে প্রশ্নটি বর্তমান রূপে সমাধান করা সম্ভব নয়। সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে \(cos^2x+cos^2y+cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\) অথবা \(cos^2(a-120^\circ) + cos^2(a+120^\circ) + cos^2a\) এর মতো সম্পূর্ণ পদগুচ্ছ দেওয়া হয়।

এই প্রশ্নের সম্পূর্ণ ও নির্ভুল সমাধান প্রদানের জন্য শেষ পদটির সঠিক গঠন (যেমন, cos^2y বা cos^2a) সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ থাকা আবশ্যক। শিক্ষার্থীদের কাছে প্রশ্নটি সঠিকভাবে উপস্থাপিত না হলে তারা এর যথাযথ সমাধান করতে পারবে না।