দৃশ্যকল্প-১: $x = a - 120 °$ $y = a + 120 °$
দৃশ্যকল্প-২: $A + B + C = π .$

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

2 \tan 20 ° = \tan 55 ° - \tan 35 °

উত্তরঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, $2\tan 20^\circ = \tan 55^\circ - \tan 35^\circ$

ডানপক্ষ $=$ $\tan 55^\circ - \tan 35^\circ$

$=$ $\frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} - \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}$

$=$ $\frac{\sin 55^\circ \cos 35^\circ - \cos 55^\circ \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}$

$=$ $\frac{\sin (55^\circ - 35^\circ)}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}$

$=$ $\frac{\sin 20^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}$

আমরা জানি, $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$

সুতরাং, $2\cos 55^\circ \cos 35^\circ = \cos(55^\circ + 35^\circ) + \cos(55^\circ - 35^\circ)$

$=$ $\cos 90^\circ + \cos 20^\circ$

$=$ $0 + \cos 20^\circ$

$=$ $\cos 20^\circ$

এখন, ডানপক্ষে এই মান বসিয়ে পাই,

ডানপক্ষ $=$ $\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2} (2\cos 55^\circ \cos 35^\circ)}$

$=$ $\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \cos 20^\circ}$

$=$ $2 \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}$

$=$ $2 \tan 20^\circ$

$=$ বামপক্ষ (প্রমাণিত)

Satt AI

2 weeks ago

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে

c o s^{2} x + c o s^{2} (\frac{x + y}{2}) + c o s^{2} = \frac{3}{2}

উত্তরঃ

প্রশ্ন বিবরণ: উচ্চতর গণিত - ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রমাণ

প্রদত্ত প্রশ্নটি উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের ত্রিকোণমিতি অংশের অন্তর্ভুক্ত একটি সৃজনশীল প্রশ্ন, যা উচ্চ মাধ্যমিক স্তরের শিক্ষার্থীদের জন্য প্রযোজ্য। প্রশ্নটির নির্ধারিত মান ৪, যা এটিকে 'ঘ' বা উচ্চতর দক্ষতা-ভিত্তিক প্রশ্নের ক্যাটাগরিতে স্থান দিয়েছে। এই ধরনের প্রশ্নে শিক্ষার্থীদের উদ্দীপক থেকে তথ্য বিশ্লেষণ করে সমস্যা সমাধান এবং উচ্চতর গাণিতিক ধারণা প্রয়োগের সক্ষমতা যাচাই করা হয়।

প্রশ্নটি দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সম্পর্কাবলি $x = a - 120^\circ$ এবং $y = a + 120^\circ$ এর আলোকে একটি ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রমাণের নির্দেশ দেয়। শিক্ষার্থীরা এই সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে অভেদের বামপক্ষ থেকে ডানপক্ষ প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় গাণিতিক ধাপসমূহ অনুসরণ করবে। বিশেষত, $ \frac{x+y}{2} $ এর মান নির্ণয় এবং কোণগুলোর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা এখানে গুরুত্বপূর্ণ।

প্রমাণ করতে বলা হয়েছে যে $cos^2x+cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)+cos^2=\frac{3}{2}$। তবে, প্রশ্নটিতে প্রদেয় রাশিমালার শেষ পদটি অসম্পূর্ণ রয়েছে (+cos^2 এর পরে কোণের মান অনুপস্থিত)। এই অসম্পূর্ণতার কারণে প্রশ্নটি বর্তমান রূপে সমাধান করা সম্ভব নয়। সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে $cos^2x+cos^2y+cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)$ অথবা $cos^2(a-120^\circ) + cos^2(a+120^\circ) + cos^2a$ এর মতো সম্পূর্ণ পদগুচ্ছ দেওয়া হয়।

এই প্রশ্নের সম্পূর্ণ ও নির্ভুল সমাধান প্রদানের জন্য শেষ পদটির সঠিক গঠন (যেমন, cos^2y বা cos^2a) সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ থাকা আবশ্যক। শিক্ষার্থীদের কাছে প্রশ্নটি সঠিকভাবে উপস্থাপিত না হলে তারা এর যথাযথ সমাধান করতে পারবে না।

Satt AI

2 weeks ago

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

c o s^{2} (π - B - C) + c o s^{2} (π - C - A)

c o s^{2} (π - A - B) = 1 - 2 c o s (π - A) c o s (π - B) c o s (π - C)

উত্তরঃ

উচ্চতর গণিতের ত্রিকোণমিতি অধ্যায়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র প্রমাণ করতে বলা হয়েছে যা একটি ত্রিভুজের কোণত্রয়ের যোগফল সম্পর্কিত। এই প্রশ্নটি উচ্চ মাধ্যমিক পর্যায়ের শিক্ষার্থীদের ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলী ব্যবহারের দক্ষতা এবং প্রমাণ করার সক্ষমতা যাচাই করে।

দৃশ্যকল্প-২ এ দেওয়া আছে যে, $A + B + C = π .$ অর্থাৎ, $A, B, C$ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ। এই শর্ত ব্যবহার করে প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষকে সরলীকরণ করা যায়। যেমন: $π - B - C = A$ , $π - C - A = B$ এবং $π - A - B = C$ । একইভাবে, $\cos (π - A) = - \cos A$ , $\cos (π - B) = - \cos B$ এবং $\cos (π - C) = - \cos C$ । এই প্রতিস্থাপনগুলো ব্যবহার করে প্রমাণটি করা হবে।

প্রমাণ:

প্রদত্ত সমীকরণ: $c o s^{2} (π - B - C) + c o s^{2} (π - C - A) + c o s^{2} (π - A - B) = 1 - 2 c o s (π - A) c o s (π - B) c o s (π - C)$

দৃশ্যকল্প-২ থেকে, $A + B + C = π$

বামপক্ষ (LHS):
$c o s^{2} (π - B - C) + c o s^{2} (π - C - A) + c o s^{2} (π - A - B)$
আমরা জানি, $π - B - C = A$
$π - C - A = B$
$π - A - B = C$
সুতরাং,
$= c o s^{2} A + c o s^{2} B + c o s^{2} C$
আমরা জানি, $c o s^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$
$= \frac{1 + c o s 2 A}{2} + \frac{1 + c o s 2 B}{2} + c o s^{2} C$
$= \frac{1}{2} (1 + c o s 2 A + 1 + c o s 2 B) + c o s^{2} C$
$= \frac{1}{2} (2 + c o s 2 A + c o s 2 B) + c o s^{2} C$
$= 1 + \frac{1}{2} (2 c o s (A + B) c o s (A - B)) + c o s^{2} C$
$= 1 + c o s (A + B) c o s (A - B) + c o s^{2} C$
যেহেতু $A + B + C = π$ , তাই $A + B = π - C$
সুতরাং, $c o s (A + B) = c o s (π - C) = - c o s C$
$= 1 - c o s C c o s (A - B) + c o s^{2} C$
$= 1 + c o s C (c o s C - c o s (A - B))$
$= 1 + c o s C (- c o s (A + B) - c o s (A - B))$
আমরা জানি, $c o s (A + B) + c o s (A - B) = 2 c o s A c o s B$
$= 1 + c o s C (- 2 c o s A c o s B)$
$= 1 - 2 c o s A c o s B c o s C$

ডানপক্ষ (RHS):
$1 - 2 c o s (π - A) c o s (π - B) c o s (π - C)$
আমরা জানি, $c o s (π - θ) = - c o s θ$
$= 1 - 2 (- c o s A) (- c o s B) (- c o s C)$
$= 1 - 2 c o s A c o s B c o s C$

যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রদত্ত সম্পর্কটি প্রমাণিত হলো।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

A = (1 2 3) এবং $B = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ হলে (AB)^t নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

626

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ এবং B = $ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = $ \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

Satt AI

3 weeks ago

626

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

615

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

$x + y + z = 1 \quad \ldots(1)$

$x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)$

$x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)$

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $D$ নির্ণয় করি:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$

$= 1(3) - 1(1) + 1(-1)$

$= 3 - 1 - 1$

$= 1$

এখন, $x$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_x$ নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)$

$= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$

$= 1(3) - 1(4) + 1(2)$

$= 3 - 4 + 2$

$= 1$

$\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$

এরপর, $y$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_y$ নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$

$= 1(4) - 1(1) + 1(-2)$

$= 4 - 1 - 2$

$= 1$

$\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1$

সবশেষে, $z$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_z$ নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$

$= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$

$= -2 + 2 - 1$

$= -1$

$\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1$

অতএব, নির্ণয় সমাধান: $x = 1, y = 1, z = -1$

Satt AI

3 weeks ago

615

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D = S³ যেখানে S = p+q+r.

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

708

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

$p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)$

$q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)$

$r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)$

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)$

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $\frac{S}{2}$ কমন নিয়ে পাই:

D = $8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এখন, $C_2 \to C_2 - C_1$ এবং $C_3 \to C_3 - C_1$ কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

$C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}$

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}$

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = $4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)$

D = $4S \left( \frac{S^2}{4} \right)$

D = $S^3$

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।

Satt AI

3 weeks ago

708

(ক)

P + Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

608

Add Explanation

608

(খ)

প্রমাণ কর যে, ${(P Q)}^{t} = Q^{t} P^{t}$

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

500

Add Explanation

500

(গ)

PR = RP = I হলে R ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

821

Add Explanation

821

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

দৃশ্যকল্প-১: $x = a - 120 °$ $y = a + 120 °$
দৃশ্যকল্প-২: $A + B + C = π .$

Related Question

Related Question

Promotion

Notification

দৃশ্যকল্প-১: x = a - 120°y = a+ 120° দৃশ্যকল্প-২: A + B + C = π.

Related Question

Related Question

Promotion

দৃশ্যকল্প-১: $x = a - 120 °$ $y = a + 120 °$
দৃশ্যকল্প-২: $A + B + C = π .$