দেখাও যে, $\left[\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -5\end{array}\right]$ একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সদ্বয় হলো:

\[A = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

এবং

\[B = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]

প্রথমে আমরা \(AB\) নির্ণয় করি:

\[AB = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 2 \times (-2) & 2 \times 3 & 2 \times 1 \\ -1 \times (-2) & -1 \times 3 & -1 \times 1 \\ 1 \times (-2) & 1 \times 3 & 1 \times 1 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]

এখন, আমরা \((AB)^2\) নির্ণয় করি:

\[(AB)^2 = AB \times AB\]

\[= \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} (-4)(-4) + (6)(2) + (2)(-2) & (-4)(6) + (6)(-3) + (2)(3) & (-4)(2) + (6)(-1) + (2)(1) \\ (2)(-4) + (-3)(2) + (-1)(-2) & (2)(6) + (-3)(-3) + (-1)(3) & (2)(2) + (-3)(-1) + (-1)(1) \\ (-2)(-4) + (3)(2) + (1)(-2) & (-2)(6) + (3)(-3) + (1)(3) & (-2)(2) + (3)(-1) + (1)(1) \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 16 + 12 - 4 & -24 - 18 + 6 & -8 - 6 + 2 \\ -8 - 6 + 2 & 12 + 9 - 3 & 4 + 3 - 1 \\ 8 + 6 - 2 & -12 - 9 + 3 & -4 - 3 + 1 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 24 & -36 & -12 \\ -12 & 18 & 6 \\ 12 & -18 & -6 \end{bmatrix}\]

আমরা জানি, \(I_3\) হলো 3x3 অভেদক ম্যাট্রিক্স (identity matrix):

\[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

সুতরাং, \(3I_3\):

\[3I_3 = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

এখন, প্রদত্ত রাশিমালা \((AB)^2 + AB - 3I_3\) নির্ণয় করি:

\[(AB)^2 + AB - 3I_3 = \begin{bmatrix} 24 & -36 & -12 \\ -12 & 18 & 6 \\ 12 & -18 & -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 24 + (-4) - 3 & -36 + 6 - 0 & -12 + 2 - 0 \\ -12 + 2 - 0 & 18 + (-3) - 3 & 6 + (-1) - 0 \\ 12 + (-2) - 0 & -18 + 3 - 0 & -6 + 1 - 3 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 24 - 4 - 3 & -36 + 6 & -12 + 2 \\ -12 + 2 & 18 - 3 - 3 & 6 - 1 \\ 12 - 2 & -18 + 3 & -6 + 1 - 3 \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} 17 & -30 & -10 \\ -10 & 12 & 5 \\ 10 & -15 & -8 \end{bmatrix}\]

দেওয়া আছে,

\[C = \begin{bmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\] \[X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\] \[D = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

প্রদত্ত সমীকরণ জোটটি হলো: \(CX = D\)

অর্থাৎ,

\[\begin{bmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

ধাপ ১: \(C\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(|C|\) নির্ণয় করি।

\[|C| = \begin{vmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}\]

\[= -3 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((-2)(2) - (-1)(3)) - 6((2)(2) - (-1)(-2)) + 2((2)(3) - (-2)(-2))\]

\[= -3(-4 + 3) - 6(4 - 2) + 2(6 - 4)\]

\[= -3(-1) - 6(2) + 2(2)\]

\[= 3 - 12 + 4\]

\[= -5\]

যেহেতু \(|C| \neq 0\), সেহেতু সমীকরণ জোটটির একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান।

ধাপ ২: \(|C_x|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_x\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_x = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}\]

\[|C_x| = 1 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= 1((-2)(2) - (-1)(3)) - 6((0)(2) - (-1)(3)) + 2((0)(3) - (-2)(3))\]

\[= 1(-4 + 3) - 6(0 + 3) + 2(0 + 6)\]

\[= 1(-1) - 6(3) + 2(6)\]

\[= -1 - 18 + 12\]

\[= -7\]

ধাপ ৩: \(|C_y|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_y\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_y = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\]

\[|C_y| = -3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((0)(2) - (-1)(3)) - 1((2)(2) - (-1)(-2)) + 2((2)(3) - (0)(-2))\]

\[= -3(0 + 3) - 1(4 - 2) + 2(6 - 0)\]

\[= -3(3) - 1(2) + 2(6)\]

\[= -9 - 2 + 12\]

\[= 1\]

ধাপ ৪: \(|C_z|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_z\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_z = \begin{bmatrix} -3 & 6 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{bmatrix}\]

\[|C_z| = -3 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((-2)(3) - (0)(3)) - 6((2)(3) - (0)(-2)) + 1((2)(3) - (-2)(-2))\]

\[= -3(-6 - 0) - 6(6 - 0) + 1(6 - 4)\]

\[= -3(-6) - 6(6) + 1(2)\]

\[= 18 - 36 + 2\]

\[= -16\]

ধাপ ৫: ক্রেমারের সূত্র (Cramer's Rule) ব্যবহার করে \(x, y, z\) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, ক্রেমারের সূত্র অনুযায়ী,

\[x = \frac{|C_x|}{|C|}\]

\[y = \frac{|C_y|}{|C|}\]

\[z = \frac{|C_z|}{|C|}\]

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[x = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}\]

\[y = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}\]

\[z = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5}\]

অতএব, সমাধান: \(x = \frac{7}{5}, y = -\frac{1}{5}, z = \frac{16}{5}\)