$(AB{)}^2+AB-3I_3$ নির্ণয় কর।

১. প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স

ধরি,

$A = \left[\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -5\end{array}\right]$

২. সমঘাতি ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (square matrix) $A$-কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (idempotent matrix) বলা হয় যদি $A^2 = A$ হয়।

৩. $A^2$ নির্ণয়

আমরা $A^2$ নির্ণয় করি:

$A^2 = A \times A$

$= \left[\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -5\end{array}\right]$

$= \left[\begin{array}{ccc}2\left(2\right)+(-3)(-1)+(-5)\left(1\right)& 2(-3)+(-3)\left(4\right)+(-5)(-3)& 2(-5)+(-3)\left(5\right)+(-5)(-5)\\ (-1)\left(2\right)+4(-1)+5\left(1\right)& (-1)(-3)+4\left(4\right)+5(-3)& (-1)(-5)+4\left(5\right)+5(-5)\\ 1\left(2\right)+(-3)(-1)+(-5)\left(1\right)& 1(-3)+(-3)\left(4\right)+(-5)(-3)& 1(-5)+(-3)\left(5\right)+(-5)(-5)\end{array}\right]$

$= \left[\begin{array}{ccc}4+3-5& -6-12+15& -10-15+25\\ -2-4+5& 3+16-15& 5+20-25\\ 2+3-5& -3-12+15& -5-15+25\end{array}\right]$

$= \left[\begin{array}{ccc}2& -3& 0\\ -1& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

৪. $A^2$ এবং $A$ তুলনা

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

$A^2 = \left[\begin{array}{ccc}2& -3& 0\\ -1& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

কিন্তু,

$A = \left[\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -5\end{array}\right]$

স্পষ্টতই, $A^2 \ne A$।

৫. সিদ্ধান্ত

যেহেতু $A^2 = A$ শর্তটি পূরণ হয় না, তাই প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স নয়। প্রশ্নোক্ত ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি নয় বলে এটি দেখানো সম্ভব নয়।

দেওয়া আছে,

\[C = \begin{bmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\] \[X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\] \[D = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

প্রদত্ত সমীকরণ জোটটি হলো: \(CX = D\)

অর্থাৎ,

\[\begin{bmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

ধাপ ১: \(C\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(|C|\) নির্ণয় করি।

\[|C| = \begin{vmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}\]

\[= -3 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((-2)(2) - (-1)(3)) - 6((2)(2) - (-1)(-2)) + 2((2)(3) - (-2)(-2))\]

\[= -3(-4 + 3) - 6(4 - 2) + 2(6 - 4)\]

\[= -3(-1) - 6(2) + 2(2)\]

\[= 3 - 12 + 4\]

\[= -5\]

যেহেতু \(|C| \neq 0\), সেহেতু সমীকরণ জোটটির একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান।

ধাপ ২: \(|C_x|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_x\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_x = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}\]

\[|C_x| = 1 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= 1((-2)(2) - (-1)(3)) - 6((0)(2) - (-1)(3)) + 2((0)(3) - (-2)(3))\]

\[= 1(-4 + 3) - 6(0 + 3) + 2(0 + 6)\]

\[= 1(-1) - 6(3) + 2(6)\]

\[= -1 - 18 + 12\]

\[= -7\]

ধাপ ৩: \(|C_y|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_y\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_y = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\]

\[|C_y| = -3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((0)(2) - (-1)(3)) - 1((2)(2) - (-1)(-2)) + 2((2)(3) - (0)(-2))\]

\[= -3(0 + 3) - 1(4 - 2) + 2(6 - 0)\]

\[= -3(3) - 1(2) + 2(6)\]

\[= -9 - 2 + 12\]

\[= 1\]

ধাপ ৪: \(|C_z|\) নির্ণয় করি।

\(C\) ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় কলামকে \(D\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে \(C_z\) ম্যাট্রিক্স পাই:

\[C_z = \begin{bmatrix} -3 & 6 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{bmatrix}\]

\[|C_z| = -3 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\]

\[= -3((-2)(3) - (0)(3)) - 6((2)(3) - (0)(-2)) + 1((2)(3) - (-2)(-2))\]

\[= -3(-6 - 0) - 6(6 - 0) + 1(6 - 4)\]

\[= -3(-6) - 6(6) + 1(2)\]

\[= 18 - 36 + 2\]

\[= -16\]

ধাপ ৫: ক্রেমারের সূত্র (Cramer's Rule) ব্যবহার করে \(x, y, z\) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, ক্রেমারের সূত্র অনুযায়ী,

\[x = \frac{|C_x|}{|C|}\]

\[y = \frac{|C_y|}{|C|}\]

\[z = \frac{|C_z|}{|C|}\]

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[x = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}\]

\[y = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}\]

\[z = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5}\]

অতএব, সমাধান: \(x = \frac{7}{5}, y = -\frac{1}{5}, z = \frac{16}{5}\)