দেখাও যে, ∠AMB + ∠CMD = 2 ∠AEB.

প্রমাণ:

দেওয়া আছে, M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত এবং AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

AB চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AMB এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ACB.

সুতরাং, \( \angle AMB = 2 \angle ACB \) ... (i)

CD চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CMD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CBD.

সুতরাং, \( \angle CMD = 2 \angle CBD \) ... (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

\( \angle AMB + \angle CMD = 2 \angle ACB + 2 \angle CBD \)

\( \angle AMB + \angle CMD = 2 ( \angle ACB + \angle CBD ) \) ... (iii)

ΔEBC ত্রিভুজে, ∠AEB হলো একটি বহিঃস্থ কোণ।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

সুতরাং, \( \angle AEB = \angle EBC + \angle ECB \)

অর্থাৎ, \( \angle AEB = \angle CBD + \angle ACB \) ... (iv)

সমীকরণ (iii) ও (iv) থেকে পাই,

\( \angle AMB + \angle CMD = 2 \angle AEB \)

(প্রমাণিত)