দোলনা একপ্রান্তে টেনে ছেড়ে দিলে অপর প্রান্তে পৌঁছানো পর্যন্ত শক্তির রূপান্তর ব্যাখ্যা কর

উত্তরঃ

যখন কোনো বস্তু নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে বৃত্তাকার পথে ঘোরে, তখন সেই গতিকে ঘূর্ণন গতি বলে।

উত্তরঃ

উদ্দীপক অনুসারে, ব্যাটসম্যানের ব্যাট দিয়ে আঘাত করার ফলে বলটি 250 gm ভর এবং 40.5 J শক্তি লাভ করে উপরের দিকে উঠতে শুরু করে। এই শক্তি মূলত বলটির গতিশক্তি হিসেবে রূপান্তরিত হয়, যা তাকে একটি নির্দিষ্ট বেগে উপরের দিকে চালিত করে। বলটির এই অর্জিত গতিশক্তির মান ব্যবহার করে আমরা উপরের দিকে উঠার মুহূর্তে তার বেগ নির্ণয় করতে পারি।

আমরা জানি, গতিশক্তি (Kinetic Energy) \( KE = \frac{1}{2}mv^2 \) যেখানে, \( m \) = বস্তুর ভর এবং \( v \) = বস্তুর বেগ।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো:

বলটির ভর, \( m = 250 \text{ gm} = 0.250 \text{ kg} \)

বলটির অর্জিত শক্তি বা গতিশক্তি, \( KE = 40.5 \text{ J} \)

নির্ণেয় বেগ, \( v = ? \)

সূত্রানুসারে,

\[ KE = \frac{1}{2}mv^2 \]

বা,

\[ v^2 = \frac{2 \times KE}{m} \]

বা,

\[ v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}} \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ v = \sqrt{\frac{2 \times 40.5 \text{ J}}{0.250 \text{ kg}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{81}{0.25}} \] \[ v = \sqrt{324} \] \[ v = 18 \text{ ms}^{-1} \]

সুতরাং, উপরের দিকে উঠার মুহূর্তে বলটির বেগ ছিল \( 18 \text{ ms}^{-1} \)। এই বেগেই বলটি ব্যাট থেকে আঘাত পেয়ে খাড়া উপরের দিকে উঠতে শুরু করে, যা ফিল্ডারের বল ধরার প্রচেষ্টার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রাথমিক তথ্য।

উত্তরঃ

ব্যাটসম্যানকে আউট করা সম্ভব হয়নি । গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো:

উদ্দীপক অনুসারে, বলটিকে ব্যাট দিয়ে আঘাত করার ফলে বলটি 40.5 J শক্তি লাভ করে খাড়া উপরের দিকে উঠে যায়। বলের ভর (m) = 250 gm = 0.25 kg। ধরি, বলের প্রাথমিক বেগ (v) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 9.8 ms^-2।

আমরা জানি, গতিশক্তি, E_k = \(\frac{1}{2}mv^2\)

বা, \(40.5 = \frac{1}{2} \times 0.25 \times v^2\)

বা, \(81 = 0.25 v^2\)

বা, \(v^2 = \frac{81}{0.25}\)

বা, \(v^2 = 324\)

সুতরাং, \(v = \sqrt{324} = 18 \text{ ms}^{-1}\)

এখন, বলটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে যে সময় লাগে, তা \(v = u - gt\) সূত্র থেকে নির্ণয় করা যায়। সর্বোচ্চ উচ্চতায় শেষ বেগ \(u = 0\)।

এখানে, \(0 = 18 - 9.8 \times t_{উঠতে}\)

বা, \(9.8 \times t_{উঠতে} = 18\)

বা, \(t_{উঠতে} = \frac{18}{9.8} \approx 1.837 \text{ s}\)

বলটি যে উচ্চতায় উঠেছিল, সেই উচ্চতা থেকে আবার ভূমিতে ফিরে আসতে মোট সময় (\(T\)) লাগবে \(2 \times t_{উঠতে}\)

সুতরাং, \(T = 2 \times 1.837 \approx 3.674 \text{ s}\)

অন্যদিকে, ফিল্ডার 40 m দূর থেকে 10 ms^-1 বেগে দৌড়ে আসে। ফিল্ডারের বল ধরার স্থানে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_{ফিল্ডার}\)) হলো:

\(t_{ফিল্ডার} = \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{বেগ}}\)

\(t_{ফিল্ডার} = \frac{40}{10} = 4 \text{ s}\)

যেহেতু বলটি ভূমিতে ফিরে আসতে \(3.674 \text{ s}\) সময় নেয়, আর ফিল্ডারের বল ধরার স্থানে পৌঁছাতে \(4 \text{ s}\) সময় লাগে, অর্থাৎ বলটি ফিল্ডারের পৌঁছানোর পূর্বেই ভূমিতে ফিরে আসে। তাই ব্যাটসম্যানকে আউট করা সম্ভব হয়নি।