নিক্ষেপণ বেগের মান কোন সীমার মধ্যে রাখলে উদ্দীপকের টেনিস বলটি পুকুরে পড়তে পারে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

কোনো যন্ত্র বা ব্যবস্থার কর্মদক্ষতা হলো লভ্য কার্যকর শক্তি ও মোট প্রদত্ত শক্তির অনুপাত।

প্রযুক্ত টর্ক একই হবে না। যদিও সিডি এবং কয়েনের ভর ও ব্যাসার্ধ সমান, কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে তাদের ভরের বন্টন ভিন্ন। একটি কয়েনকে নিরেট চাকতি হিসেবে ধরা যায়, যেখানে ভর পুরো ব্যাসার্ধ জুড়ে সুষমভাবে বন্টিত। অন্যদিকে, একটি সিডিতে কেন্দ্রে একটি ছিদ্র থাকে এবং এর ভর সাধারণত প্রান্তের দিকে বেশি বন্টিত থাকে।

জড়তার ভ্রামক (\(I\)) শুধু ভর ও ব্যাসার্ধের উপরই নির্ভর করে না, বরং ভরের বন্টনের উপরও নির্ভর করে। যেহেতু সিডির ভর নিরেট কয়েনের চেয়ে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে তুলনামূলকভাবে দূরে বন্টিত থাকে, তাই সিডির জড়তার ভ্রামক কয়েনের জড়তার ভ্রামকের চেয়ে বেশি হবে। টর্ক (\(\tau\)) হলো জড়তার ভ্রামক (\(I\)) এবং কৌণিক ত্বরণের (\(\alpha\)) গুণফল (\(\tau = I \alpha\))। স্থির অবস্থা থেকে একই কৌণিক বেগ অর্জন করতে (যদি একই সময়ে হয়, তবে একই কৌণিক ত্বরণ প্রয়োজন হবে), যে বস্তুর জড়তার ভ্রামক বেশি, তার জন্য বেশি টর্ক প্রয়োগ করতে হবে। তাই সিডির জন্য বেশি টর্কের প্রয়োজন হবে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, টেনিস বলটির ভর \(m = 180 \, gm = 0.180 \, kg\) এবং আনুভূমিক নিক্ষেপ বেগ \(u_x = 65 \, m/s\)। 0.7 সেকেন্ড পর বলটির ভরবেগ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে এই সময়ের পর বলটির আনুভূমিক ও উলম্ব বেগ নির্ণয় করে লব্ধি বেগ বের করতে হবে। আনুভূমিক বেগের কোনো পরিবর্তন হয় না কারণ বায়ু প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হয় কিন্তু উলম্ব বেগ অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে পরিবর্তিত হয়।

0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির আনুভূমিক বেগ, \(v_x = u_x = 65 \, m/s\)। উলম্ব দিকের প্রাথমিক বেগ \(u_y = 0 \, m/s\) (যেহেতু আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হয়েছে) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \, m/s^2\)। সুতরাং, 0.7 সেকেন্ড পর উলম্ব বেগ, \(v_y = u_y + gt = 0 + 9.8 \times 0.7 = 6.86 \, m/s\)। এখন, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির লব্ধি বেগ \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(65)^2 + (6.86)^2} = \sqrt{4225 + 47.0596} = \sqrt{4272.0596} \approx 65.36 \, m/s\)।

অতএব, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির ভরবেগ \(p = mv = 0.180 \, kg \times 65.36 \, m/s \approx 11.7648 \, kg \cdot m/s\)। সুতরাং, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির ভরবেগের মান প্রায় \(11.76 \, kg \cdot m/s\)।