নিক্ষেপণ বেগের মান কোন সীমার মধ্যে রাখলে উদ্দীপকের টেনিস বলটি পুকুরে পড়তে পারে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকের টেনিস বলটি দালানের ছাদ হতে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলে তা একটি প্রাসের গতিপথ অনুসরণ করবে। পুকুরে বলটি পড়ার জন্য এর আনুভূমিক পাল্লাকে পুকুরের শুরু ও শেষের দূরত্বের মধ্যে থাকতে হবে। নিক্ষেপণ বেগের মান নির্ণয়ের জন্য বলটির ভূমিতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় এবং পুকুরের অবস্থান বিবেচনা করা প্রয়োজন।

প্রথমে, বলটি কত সময়ে ভূমিতে পৌঁছাবে তা নির্ণয় করি। যেহেতু বলটিকে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হয়েছে, এর উল্লম্ব উপাংশের আদিবেগ \(u_y = 0\) m/s। দালানের উচ্চতা \(h = 20\) m এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8\) m/s\(^2\)।

উল্লম্ব গতির সমীকরণ থেকে, \(h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2\)

\(20 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (9.8) t^2\)

\(20 = 4.9 t^2\)

\(t^2 = \frac{20}{4.9} \approx 4.0816\)

\(t = \sqrt{4.0816} \approx 2.02\) সেকেন্ড।

অর্থাৎ, বলটি ভূমিতে পৌঁছাতে প্রায় 2.02 সেকেন্ড সময় নেবে।

এবার, পুকুরের অবস্থান বিবেচনা করে আনুভূমিক পাল্লার সীমা নির্ণয় করি। দালানের পাদদেশ হতে পুকুরের শুরু 25 m দূরে এবং পুকুরের চওড়া 14 m। তাই, পুকুরের শেষ দালান থেকে \(25 + 14 = 39\) m দূরে। বলটি পুকুরে পড়ার জন্য এর আনুভূমিক পাল্লা (R) 25 m থেকে 39 m এর মধ্যে হতে হবে।

আনুভূমিক পাল্লা \(R = u_x \cdot t\) সূত্র ব্যবহার করে নিক্ষেপণ বেগের সীমা নির্ণয় করা যায়, যেখানে \(u_x\) হলো আনুভূমিক নিক্ষেপণ বেগ।

বলটি পুকুরের শুরুতে (25 m) পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় আনুভূমিক বেগ (\(u_{x,min}\)):

\(25 = u_{x,min} \cdot 2.02\)

\(u_{x,min} = \frac{25}{2.02} \approx 12.38\) m/s

বলটি পুকুরের শেষে (39 m) পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় আনুভূমিক বেগ (\(u_{x,max}\)):

\(39 = u_{x,max} \cdot 2.02\)

\(u_{x,max} = \frac{39}{2.02} \approx 19.31\) m/s

সুতরাং, উদ্দীপকের টেনিস বলটি পুকুরে পড়ার জন্য নিক্ষেপণ বেগের মান প্রায় 12.38 m/s থেকে 19.31 m/s সীমার মধ্যে রাখতে হবে। উদ্দীপকে দেওয়া আছে যে বলটিকে 65 m/s আনুভূমিক বেগে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, যা এই সীমার অনেক বাইরে। তাই, 65 m/s বেগে নিক্ষেপ করলে বলটি পুকুরে না পড়ে পুকুরকে অতিক্রম করে যাবে। বলটিকে পুকুরে ফেলতে হলে এর নিক্ষেপণ বেগকে উল্লেখিত সীমার মধ্যে আনতে হবে।