সমভর ও সম ব্যাসার্ধের একটি সিডি ও একটি কয়েন স্থির অবস্থা হতে সমকৌণিক বেগ প্রাপ্ত হলো। এক্ষেত্রে প্রযুক্ত টর্ক একই কি না? ব্যাখ্যা কর। (অনুধাবন)

কোনো যন্ত্র বা ব্যবস্থার কর্মদক্ষতা হলো লভ্য কার্যকর শক্তি ও মোট প্রদত্ত শক্তির অনুপাত।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, টেনিস বলটির ভর \(m = 180 \, gm = 0.180 \, kg\) এবং আনুভূমিক নিক্ষেপ বেগ \(u_x = 65 \, m/s\)। 0.7 সেকেন্ড পর বলটির ভরবেগ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে এই সময়ের পর বলটির আনুভূমিক ও উলম্ব বেগ নির্ণয় করে লব্ধি বেগ বের করতে হবে। আনুভূমিক বেগের কোনো পরিবর্তন হয় না কারণ বায়ু প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হয় কিন্তু উলম্ব বেগ অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে পরিবর্তিত হয়।

0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির আনুভূমিক বেগ, \(v_x = u_x = 65 \, m/s\)। উলম্ব দিকের প্রাথমিক বেগ \(u_y = 0 \, m/s\) (যেহেতু আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হয়েছে) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \, m/s^2\)। সুতরাং, 0.7 সেকেন্ড পর উলম্ব বেগ, \(v_y = u_y + gt = 0 + 9.8 \times 0.7 = 6.86 \, m/s\)। এখন, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির লব্ধি বেগ \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(65)^2 + (6.86)^2} = \sqrt{4225 + 47.0596} = \sqrt{4272.0596} \approx 65.36 \, m/s\)।

অতএব, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির ভরবেগ \(p = mv = 0.180 \, kg \times 65.36 \, m/s \approx 11.7648 \, kg \cdot m/s\)। সুতরাং, 0.7 সেকেন্ড পর টেনিস বলটির ভরবেগের মান প্রায় \(11.76 \, kg \cdot m/s\)।

উদ্দীপকের টেনিস বলটি দালানের ছাদ হতে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলে তা একটি প্রাসের গতিপথ অনুসরণ করবে। পুকুরে বলটি পড়ার জন্য এর আনুভূমিক পাল্লাকে পুকুরের শুরু ও শেষের দূরত্বের মধ্যে থাকতে হবে। নিক্ষেপণ বেগের মান নির্ণয়ের জন্য বলটির ভূমিতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় এবং পুকুরের অবস্থান বিবেচনা করা প্রয়োজন।

প্রথমে, বলটি কত সময়ে ভূমিতে পৌঁছাবে তা নির্ণয় করি। যেহেতু বলটিকে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হয়েছে, এর উল্লম্ব উপাংশের আদিবেগ \(u_y = 0\) m/s। দালানের উচ্চতা \(h = 20\) m এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8\) m/s\(^2\)।

উল্লম্ব গতির সমীকরণ থেকে, \(h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2\)

\(20 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (9.8) t^2\)

\(20 = 4.9 t^2\)

\(t^2 = \frac{20}{4.9} \approx 4.0816\)

\(t = \sqrt{4.0816} \approx 2.02\) সেকেন্ড।

অর্থাৎ, বলটি ভূমিতে পৌঁছাতে প্রায় 2.02 সেকেন্ড সময় নেবে।

এবার, পুকুরের অবস্থান বিবেচনা করে আনুভূমিক পাল্লার সীমা নির্ণয় করি। দালানের পাদদেশ হতে পুকুরের শুরু 25 m দূরে এবং পুকুরের চওড়া 14 m। তাই, পুকুরের শেষ দালান থেকে \(25 + 14 = 39\) m দূরে। বলটি পুকুরে পড়ার জন্য এর আনুভূমিক পাল্লা (R) 25 m থেকে 39 m এর মধ্যে হতে হবে।

আনুভূমিক পাল্লা \(R = u_x \cdot t\) সূত্র ব্যবহার করে নিক্ষেপণ বেগের সীমা নির্ণয় করা যায়, যেখানে \(u_x\) হলো আনুভূমিক নিক্ষেপণ বেগ।

বলটি পুকুরের শুরুতে (25 m) পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় আনুভূমিক বেগ (\(u_{x,min}\)):

\(25 = u_{x,min} \cdot 2.02\)

\(u_{x,min} = \frac{25}{2.02} \approx 12.38\) m/s

বলটি পুকুরের শেষে (39 m) পড়ার জন্য প্রয়োজনীয় আনুভূমিক বেগ (\(u_{x,max}\)):

\(39 = u_{x,max} \cdot 2.02\)

\(u_{x,max} = \frac{39}{2.02} \approx 19.31\) m/s

সুতরাং, উদ্দীপকের টেনিস বলটি পুকুরে পড়ার জন্য নিক্ষেপণ বেগের মান প্রায় 12.38 m/s থেকে 19.31 m/s সীমার মধ্যে রাখতে হবে। উদ্দীপকে দেওয়া আছে যে বলটিকে 65 m/s আনুভূমিক বেগে নিক্ষেপ করা হয়েছিল, যা এই সীমার অনেক বাইরে। তাই, 65 m/s বেগে নিক্ষেপ করলে বলটি পুকুরে না পড়ে পুকুরকে অতিক্রম করে যাবে। বলটিকে পুকুরে ফেলতে হলে এর নিক্ষেপণ বেগকে উল্লেখিত সীমার মধ্যে আনতে হবে।