নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

BB BB Officer (General) - 2025 গণিত 2025 শতকরা (Percentage) চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest) সূচক (Exponents /Indices) অঙ্ক স্থানবিনিময় সংক্রান্ত সমস্যা দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

311

(a)

একটি ক্লাবে ৭০% সদস্য বিবাহিত, এবং বিবাহিত সদস্যদের মধ্যে ৬০% নারী। যদি মোট সদস্যের ৬০% নারী হয়, তবে অবিবাহিত নারী সদস্যদের শতকরা হার কত?

উত্তরঃ

ধরি, ক্লাবের মোট সদস্য সংখ্যা ১০০ জন।

বিবাহিত সদস্য: ১০০ * ৭০% = ৭০ জন

বিবাহিত নারী সদস্য: ৭০ * ৬০% = ৪২ জন

মোট নারী সদস্য: ১০০ * ৬০% = ৬০ জন

অবিবাহিত নারী সদস্য: ৬০ - ৪২ = ১৮ জন

অবিবাহিত নারী সদস্যদের শতকরা হার: (১৮/৬০) * ১০০% = ৩০%

সুতরাং, অবিবাহিত নারী সদস্যদের শতকরা ৩০%.

R.K BokuL

1 year ago

(b)

যে পরিমাণ মূলধন ৫ বছরে বার্ষিক ৪% হারে ২০০০ টাকা সরল সুদ প্রদান করে তা বার্ষিক ১২% হারে ৫ বছরের জন্য কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ প্রদান করবে?

Add Explanation

(c)

যদি $2^{a} + 3^{b} = 41$ এবং $2^{a + 1} - 3^{b + 2} = - 17$ হয় তাহলে । a এবং b এর মান নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি,

$2^a = x$

$3^b = y$

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

$2^a + 3^b = 41$

$x + y = 41$ ............(i)

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,

$2^{a+1} - 3^{b+2} = -17$

$2 \cdot 2^a - 3^2 \cdot 3^b = -17$

$2x - 9y = -17$ ............(ii)

সমীকরণ (i) থেকে $x$ এর মান বের করে সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,

$x = 41 - y$

$2(41 - y) - 9y = -17$

$82 - 2y - 9y = -17$

$82 - 11y = -17$

$11y = 82 + 17$

$11y = 99$

$y = \frac{99}{11}$

$y = 9$

$y$ এর মান সমীকরণ (i)-তে বসিয়ে পাই,

$x + 9 = 41$

$x = 41 - 9$

$x = 32$

এখন $x$ এবং $y$ এর মান বসিয়ে $a$ এবং $b$ এর মান নির্ণয় করি:

$2^a = x$

$2^a = 32$

$2^a = 2^5$

$a = 5$

এবং

$3^b = y$

$3^b = 9$

$3^b = 3^2$

$b = 2$

সুতরাং, $a = 5$ এবং $b = 2$।

Satt AI

3 months ago

(d)

যদি কোনো দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলের সাথে ৭ যোগ করা হয়, তবে যোগফল হবে দশকের অর্থের তিনগুণ কিন্তু যদি ওই সংখ্যা থেকে ৯ বিয়োগ করা হয়, তবে অংকগুলোর স্থান পরিবর্তন হয়ে যায়। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি $y$ এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি $x$।

সুতরাং, সংখ্যাটি হবে $10x + y$।

প্রথম শর্তানুযায়ী:

অঙ্কগুলোর যোগফল $ (x+y) $-এর সাথে ৭ যোগ করলে তা দশকের অঙ্ক $x $-এর তিনগুণ হবে।

$x + y + 7 = 3x $

$y + 7 = 3x - x $

$y + 7 = 2x $

$y = 2x - 7 \quad \ldots (1)$

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:

সংখ্যাটি থেকে ৯ বিয়োগ করলে অঙ্কগুলোর স্থান পরিবর্তন হয়ে যায়।

অর্থাৎ, সংখ্যাটি হবে $10y + x $

$10x + y - 9 = 10y + x $

$10x - x - 9 = 10y - y $

$9x - 9 = 9y $

উভয়পক্ষকে ৯ দ্বারা ভাগ করে পাই:

$x - 1 = y \quad \ldots (2)$

এখন, (2) নং সমীকরণ থেকে $y$-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$x - 1 = 2x - 7 $

$7 - 1 = 2x - x $

$6 = x $

$x = 6 $

$x$-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে $y$-এর মান নির্ণয় করি:

$y = x - 1 $

$y = 6 - 1 $

$y = 5 $

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো $10x + y = 10(6) + 5 = 60 + 5 = 65 $

অতএব, সংখ্যাটি হলো 65।

Satt AI

3 months ago

(e)

একটি বাঁশ এমনভাবে ভেঙ্গেছে যে ভাঙ্গা অংশটি মূল অংশের সাথে ৪৫° কোণ তৈরী করেছে এবং বাঁশের গোড়া থেকে ৬ মিটার দূরে মাটিতে স্পর্শ করেছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, বাঁশটির মূল দৈর্ঘ্য $H$ মিটার। বাঁশটি এমনভাবে ভেঙ্গেছে যে এর একটি অংশ খাড়াভাবে দাঁড়িয়ে আছে এবং অপর ভাঙ্গা অংশটি মাটিকে স্পর্শ করেছে।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের কথা চিন্তা করি, যেখানে:

বাঁশের যে অংশটি খাড়াভাবে দাঁড়িয়ে আছে, তার দৈর্ঘ্য = $h$
যেখানে ভাঙ্গা অংশটি মাটি স্পর্শ করেছে, সেই স্থান থেকে বাঁশের গোড়ার দূরত্ব = $d = 6$ মিটার
ভাঙ্গা অংশটির দৈর্ঘ্য = $l$

প্রশ্নানুসারে, ভাঙ্গা অংশটি মূল অংশের সাথে ৪৫° কোণ তৈরী করেছে। এর অর্থ হলো, গঠিত সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ (অর্থাৎ ভাঙ্গা অংশটি মাটির সাথে যে কোণ তৈরী করেছে) তা ৪৫°।

অতএব, ত্রিভুজের ভূমি ($d$) = ৬ মিটার এবং ভূমি সংলগ্ন কোণ ($\theta$) = ৪৫°।

প্রথমত, খাড়া অংশটির দৈর্ঘ্য ($h$) নির্ণয় করি:

$\tan(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{d}$

$1 = \frac{h}{6}$

$h = 6$ মিটার।

দ্বিতীয়ত, ভাঙ্গা অংশটির দৈর্ঘ্য ($l$) নির্ণয় করি:

$\cos(\theta) = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$

$\cos(45^{\circ}) = \frac{d}{l}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{l}$

$l = 6\sqrt{2}$ মিটার।

বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য ছিল খাড়া অংশ এবং ভাঙ্গা অংশের যোগফল:

মোট দৈর্ঘ্য = $h + l$

$ = 6 + 6\sqrt{2}$

$ = 6(1 + \sqrt{2})$

আমরা জানি, $\sqrt{2} \approx 1.4142$

$ = 6(1 + 1.4142)$

$ = 6(2.4142)$

$ = 14.4852$ মিটার (প্রায়)

সুতরাং, বাঁশটির দৈর্ঘ্য প্রায় ১৪.৪৮৫ মিটার।

Satt AI

3 months ago

311

MCQ: 95 CQ: 57

Practice

শতকরা (Percentage)

শতকরা (Percentage)

কোনো সংখ্যাকে ১০০ এর ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করাকে শতকরা (Percentage) বলা হয়। শতকরা অর্থ “প্রতি শতকে” বা “প্রতি ১০০ এ”।

শতকরা চিহ্ন

শতকরা প্রকাশ করতে % চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

যদি কোনো সংখ্যা x% হয়, তবে তা বোঝায়:

$x % = \frac{x}{100}$

শতকরা নির্ণয়ের সূত্র

$Percentage = \frac{Part}{Total} \times 100$

এখানে,
Part = প্রাপ্ত অংশ
Total = মোট পরিমাণ

ভগ্নাংশকে শতকরায় রূপান্তর

ভগ্নাংশকে শতকরায় প্রকাশ করতে ১০০ দ্বারা গুণ করতে হয়।

$\frac{a}{b} \times 100 %$

দশমিককে শতকরায় রূপান্তর

দশমিক সংখ্যাকে শতকরায় প্রকাশ করতে ১০০ দ্বারা গুণ করতে হয়।

$Decimal \times 100 %$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শতকরা মান সবসময় ১০০ এর ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়।
ভগ্নাংশ, দশমিক ও অনুপাতকে শতকরায় রূপান্তর করা যায়।
লাভ-ক্ষতি, সুদ, ছাড় ইত্যাদিতে শতকরা ব্যবহৃত হয়।
% চিহ্ন শতকরা নির্দেশ করে।

উদাহরণ

যদি একটি পরীক্ষায় ৮০ নম্বর পাওয়া যায় এবং মোট নম্বর ১০০ হয়, তবে শতকরা নম্বর হবে:

$\frac{80}{100} \times 100 = 80 %$

মনে রাখার উপায়

“শতকরা” মানে প্রতি ১০০ এ কত — এই ধারণা মনে রাখলেই শতকরা সহজে বোঝা যায়।

দেখা যাচ্ছে যে, শতকরা এবং অনুপাত দুইটিই ভগ্নাংশ। তবে শতকরার ক্ষেত্রে ভগ্নাংশের হর ১০০। অনুপাতের ক্ষেত্রে লব ও হর যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে। প্রয়োজনে শতকরাকে অনুপাতে ও অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা যায়।

যেমন, ৭ টাকা ও ১০ টাকার অনুপাত = $\frac{৭}{১ ০}$ টাকা = $\frac{৭}{১ ০}$ = $\frac{৭ ০}{১ ০ ০}$ বা ৭০%। এখানে ৭ টাকা ১০ টাকার $\frac{৭}{১ ০}$ অংশ বা $\frac{৭}{১ ০}$ গুণ যা ৭০% এর সমান।

অন্যদিকে, শতকরা ৩ বা ৩% হলো $\frac{৩}{১ ০ ০}$ বা ৩ : ১০০। অর্থাৎ, একটি অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণ ৭। অনুপাত ও দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

(ক) ১৫%
(খ) ৩২%
(গ) ২৫%
(ঘ) ৫৫%
(ঙ) $৮ \frac{১}{১ ০} %$

সমাধান:
(ক) ১৫% = $\frac{১ ৫}{১ ০ ০} = \frac{৩}{১ ৫} = = ৩ : ২ ০$ = .১৫

$∴$ ১৫% = ৩ : ২০ = .১৫

(খ) ৩২% = $\frac{৩ ২}{১ ০ ০}$ = $\frac{৮}{২ ৫}$ = ৮ : ২৫ = .৩২

$∴$ ৩২% = ৮ : ২৫ = .৩২

(গ) ২৫% = $\frac{২ ৫}{১ ০ ০}$ = $\frac{১}{৪}$ = ১ : ৪ = .২৫

$∴$ ২৫% = ১ : ৪ = ২৫

(ঘ) ৫৫% = $\frac{৫ ৫}{১ ০ ০}$ = $\frac{১ ১}{২ ০}$ = ১১ : ২০ = .৫৫

$∴$ ৫৫% = ১১ : ২০ = .৫৫

(ঙ) $৮ \frac{১}{১ ০} % = \frac{৮ ১}{১ ০} % = \frac{৮ ১}{১ ০} \times \frac{১}{১ ০ ০} = \frac{৮ ১}{১ ০ ০ ০} = ৮ ১ : ১ ০ ০ ০ = ০ . ০ ৮ ১$

$∴$ $৮ \frac{১}{১ ০} % = ৮ ১ : ১ ০ ০ ০ = . ০ ৮ ১$

উদাহরণ ৮। নিম্নের ভগ্নাংশগুলোকে শতকরায় প্রকাশ কর:

(ক) $\frac{১}{৪}$ (খ) $\frac{৩}{২ ০}$ (গ) $\frac{৭}{১ ৫}$ (ঘ) $\frac{8}{২ ৫}$ (ঙ) $\frac{৬}{১ ৩}$

সমাধান: (ক) $\frac{১}{৪}$ = $\frac{১ \times ১ ০ ০}{৪ \times ১ ০ ০} = \frac{২ ৫}{১ ০ ০} = ২ ৫ %$

(খ) $\frac{৩}{২ ০} = \frac{৩ \times ১ ০ ০}{২ ০ \times ১ ০ ০} = \frac{১ ৫}{১ ০ ০} = ১ ৫ %$

(গ) $\frac{৭}{১ ৫} = \frac{৭ \times ১ ০ ০}{১ ৫ \times ১ ০ ০} = \frac{১ ৪ ০}{৩} \times \frac{১}{১ ০ ০} = \frac{১ ৪ ০}{৩} % = ৪ ৬ \frac{২}{৩} %$

(ঘ) $\frac{8}{২ ৫} = \frac{৪ \times ১ ০ ০}{২ ৫ \times ১ ০ ০} = \frac{১ ৬}{১ ০ ০} = ১ ৬ %$

(ঙ) $\frac{৩}{১ ৩} = \frac{৩ \times ১ ০ ০}{১ ৩ \times ১ ০ ০} = \frac{৩ ০ ০}{১ ৩} \times \frac{১}{১ ০ ০} = \frac{৩ ০ ০}{১ ৩} % = ২ ৩ \frac{১}{১ ৩} %$

উদাহরণ ৯। একটি রাশি অপর একটি রাশির ৫০%। রাশি দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: ৫০% = $\frac{৫ ০}{১ ০ ০ ০}$ = অর্থাৎ, একটি রাশি ৫০ হলে, অপর রাশিটি হবে ১০০ ৫০ এবং ১০০ এর অনুপাত হলো ৫০ : ১০০ = ১ : ২

নির্ণেয় রাশি দুইটির অনুপাত = ১ : ২

উদাহরণ ১০। দুইটি রাশির যোগফল ২৪০। তাদের অনুপাত ১: ৩ হলে, রাশি দুইটি নির্ণয় কর। ১ম রাশি ২য় রাশির শতকরা কত অংশ?

সমাধান: রাশি দুইটির যোগফল = ২৪০

তাদের অনুপাত = ১ : ৩

অনুপাতের রাশি দুইটির যোগফল = ১ + ৩ = ৪

$∴$ ১ম রাশি = ২৪০ এর $\frac{১}{৪}$ অংশ = ৬০

$∴$ ২য় রাশি = ২৪০ এর $\frac{৩}{৪}$ অংশ = ১৮০

আবার, রাশি দুইটির অনুপাত = ১ : ৩

১ম রাশি, ২য় রাশির $\frac{১}{৩}$ = $\frac{১ \times ১ ০ ০ ০}{৩ \times ১ ০ ০ ০}$ = $\frac{১ ০ ০}{৩}$ % $= ৩ ৩ \frac{১}{৩} %$

উদাহরণ ১১। মনিরা বার্ষিক পরীক্ষায় ৮০% নম্বর পেয়েছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ৮০০ হলে, মনিরা পরীক্ষায় মোট কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান : মনিরার প্রাপ্ত নম্বর = ৮০০ এর ৮০% =৮০০ এর $\frac{৮ ০}{১ ০ ০}$ = ৬৪০

$∴$ মনিরার প্রাপ্ত নম্বর ৬৪০

উদাহরণ ১২। ফলের দোকান থেকে ১৮০টি ফজলি আম কিনে আনা হলো। দুই দিন পর ৯টি আম পচে গেল। শতকরা কতটি আম ভালো আছে?

সমাধান: মোট আম কেনা হলো ১৮০টি।

এর মধ্যে পচে গেল ৯টি।

ভালো আম রইলো (১৮০ - ৯)টি বা ১৭১টি।

ভালো আম ও মোট আমের অনুপাত $\frac{১ ৭ ১}{১ ৮ ০} = \frac{১ ৯}{২ ০}$

শতকরা ভালো আম আছে $\frac{১ ৯ \times ১ ০ ০}{২ ০}$ টি বা ৯৫টি

Related Question

View All

(খ)

সমাধান করুন:

18 y^{x} - y^{2 x} = 81, 3^{x} = y^{2}

BCS 43rd BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

742

উত্তরঃ

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, $A = y^x$।

তাহলে, $18A - A^2 = 81$

$A^2 - 18A + 81 = 0$

$(A - 9)^2 = 0$

$A = 9$

$A$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

$3^x = y^2$

সমীকরণ (3) কে $y$ এর জন্য সমাধান করি:

$y = 9^{\frac{1}{x}}$

$y$ এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

$3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2$

$3^x = 9^{\frac{2}{x}}$

$3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}$

$3^x = 3^{\frac{4}{x}}$

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

এখন $x$ এর দুটি মানের জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন $x = 2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^2 = 9$

$y = \pm 3$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(2, 3)$ এবং $(2, -3)$

ক্ষেত্রে 2: যখন $x = -2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^{-2} = 9$

$\frac{1}{y^2} = 9$

$y^2 = \frac{1}{9}$

$y = \pm \frac{1}{3}$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(-2, \frac{1}{3})$ এবং $(-2, -\frac{1}{3})$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: $(2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})$

Satt AI

3 months ago

742

(ক)

যদি

a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}}

এবং ‍abc=1 হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, x+y+z=0

BCS 41st BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

743

Add Explanation

743

(ক)

একটি ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের ৫৫% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী বিজয়ী হয়েছেন। তিনি তাঁর একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ১১,০০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোট কেন্দ্রে কতজন ভোটার উপস্থিত ছিলেন?

BCS 41st BCS Written গণিত শতকরা (Percentage)

2.1k

উত্তরঃ

ধরি, ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত মোট ভোটারের সংখ্যা = $x$ জন

বিজয়ী প্রার্থী ভোট পেয়েছেন = মোট ভোটের ৫৫% = $\frac{৫৫}{১০০} \times x = 0.55x$ জন

পরাজিত প্রার্থী ভোট পেয়েছেন = মোট ভোটের (১০০ - ৫৫)% = ৪৫% = $\frac{৪৫}{১০০} \times x = 0.45x$ জন

প্রশ্নমতে, বিজয়ী প্রার্থী তাঁর একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ১১,০০০ ভোট বেশি পেয়েছেন।

সুতরাং,

$0.55x - 0.45x = ১১০০০$

$0.10x = ১১০০০$

$x = \frac{১১০০০}{0.10}$

$x = ১১০০০ \times ১০$

$x = ১১০০০০$

সুতরাং, ভোটকেন্দ্রে মোট ১,১০,০০০ জন ভোটার উপস্থিত ছিলেন।

Satt AI

3 months ago

2.1k

(ক)

{(\frac{p}{q})}^{c} \times {(\frac{q}{r})}^{a} \times {(\frac{r}{p})}^{b} =

কত?

BCS 40th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

391

Add Explanation

391

(খ)

a = x y^{p - 1}, b = x y^{q - 1}, c = x y^{r - 1}

হলে , প্রমাণ করুন যে,

a^{q + r} b^{r - p} . C^{p - q} = 1

BCS 38th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

381

Add Explanation

381

(ক)

a^{x} = b, b^{y} = c

ও

c^{z} = a

হলে xyz এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 37th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

387

Add Explanation

387

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Related Question

Related Question

Promotion