নিচের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো লক্ষ কর :

$sec\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right).\tan \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right).\cos ec \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{4}\right). \sin \left(\frac{13\mathrm{\pi }}{2}\pm \theta \right). cot \left(19\mathrm{\pi }\pm \mathrm{\theta }\right)$

প্রথম রাশি $= sec\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)= sec \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= - cosec \frac{\mathrm{\pi }}{4}= - \sqrt{2}$

দ্বিতীয় রাশি $=\tan \frac{5\mathrm{\pi }}{6}= \tan \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)= - \tan \frac{\mathrm{\pi }}{6} =-\frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান $- \sqrt{2} ও -\frac{1}{\sqrt{3}}$

এখানে, তৃতীয় রাশি = $\cos ec \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{4}\right)$

$= \cos ec \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

$= - cosec \frac{\mathrm{\pi }}{4}=-\sqrt{2}.$

প্রশ্নমতে, প্রথম রাশি $\times$ তৃতীয় রাশি $÷ \left\{1+{\tan }^2\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)\right\}$

$=\frac{sac\left({\displaystyle \frac{3\mathrm{\pi }}{4}}\right).\cos ec\left({\displaystyle \frac{7}{4}}\right)}{1+ta{n}^2\left({\displaystyle \frac{5\mathrm{\pi }}{6}}\right)}=\frac{\left(-\sqrt{2}\right).\left(-\sqrt{2}\right)}{1+{\left({\displaystyle \frac{-1}{3}}\right)}^2}=\frac{2}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}=2\times \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় মান $\frac{3}{2}$

৪র্থ রাশি $= \sin \left(\frac{13\mathrm{\pi }}{2}+\theta \right)$ কোণের ক্ষেত্রে, n = 13 একটি বিজোড়সংখ্যা। তাই sin এর পরিবর্তে cos হবে। আবার $\left(\frac{13\mathrm{\pi }}{2}+ \theta \right)$ এর অবস্থান দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ফলে sin এর চিহ্ন ধনাত্মক।

$\therefore$ $\sin \left(\frac{13}{2}+ \theta \right) = \cos \theta$

আবার, $\left(\frac{13\mathrm{\pi }}{2}- \theta \right)$ এর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে ফলে sin এর মান ধনাত্মক হবে।

$\therefore$ $\sin \left(\frac{13}{2}- \theta \right) = \cos \theta$

৫ম রাশি $= cot(19\mathrm{\pi }+\theta )$ বা, $cot \left(\frac{38}{2}+ \theta \right)$ কোণের ক্ষেত্রে n = 3৪ জোড় সংখ্যা এবং $cot \left(\frac{38}{2}+ \theta \right)$ এর অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে ফলে cot $\theta$ ধনাত্মক হবে।

$\therefore$ $cot (19\mathrm{\pi }+\theta ) = cot \theta$

আবার,  $= cot (19\mathrm{\pi }-\theta )$ বা, $cot \left(\frac{38}{2}- \theta \right)$ কোণের ক্ষেত্রে n = 38 জোড় সংখ্যা এবং $cot \left(\frac{38}{2}- \theta \right)$ এর অবস্থান দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ফলে cot এর চিহ্ন ঋণাত্মক হবে।

$\therefore$ $cot (19\mathrm{\pi }-\theta ) = cot \theta$