তরমুজের গায়ের মূল্য ২৫০ টাকা
২০% ছাড়ে তরমুজটির বিক্রয় মূল্য = ২৫০ - ২৫০ এর ২০%
= ২৫০ - ৫০
= ২০০ টাকা
এখন, ২৫% লাভে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
“ ১ ” “ ” "
∴ “ ২০০ ” “ ” "
= ১৬০ টাকা
মনেকরি, অপর সংখ্যা = x
প্রশ্নমতে,
∴ অপর সংখ্যা = a(2b - 1)
মনেকরি, পুরুষের সংখ্যা = x
এবং স্ত্রীলোকের সংখ্যা = y
প্রশ্নমতে, x + y = ১০০০০... (i)
প্রশ্নমতে,
(x + x এর ১৫%) + (y - y এর ৯%) = ১০০০০
⇒ (x + x ) +(y-y) = ১০০০০
+ y - = ১০০০০
⇒ x + y + - = ১০০০০
= ১০০০০
⇒ ১৫x - ৯x = ০
⇒ ১৫x = ৯y
⇒ x = ৩y
⇒ x = ………… (ii)
∴ (i) ⇒
⇒ y = ৬২৫০
∴ (ii) ⇒
∴ পুরুষের সংখ্যা = ৩৭৫০ জন
এবং স্ত্রীলোকের সংখ্যা = ৬২৫০ জন
মনেকরি, আয়তকার বাক্সটির দৈর্ঘ্য = x ফুট
∴ “ ” উচ্চতা "
∴ “ ” প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
∴ দৈর্ঘ্য = ৩০ ফুট
উচ্চতা প্রস্থ = ৬ ফুট
∴ আয়তন = ঘনফুট
x + 2y - z = 5 ......... (i)
2x + 3y + z = 11 ……….. (ii)
3x - y + 3z = 7 .......... (iii)
(i) + (ii) ⇒
x + 2y - z = 5
2x + 3y + z = 11
___________
3x + 5y = 16 ......... (iv)
আবার, (i) 3 + (iii) ⇒
3x + 6y - 3z = 15
3x - y + 3z = 7
__________
6x + 5y = 22 ………. (v)
(v) - (iv) ⇒
6x + 5y = 22
3x + 5y = 76
________
3x = 6
⇒ x = 2
∴ (iv) ⇒
3 2 + 5y = 16
⇒ 6 + 5y = 16
⇒ 5y = 10
⇒ y = 2
∴ (i) ⇒
2 + 2 2 - z = 5
⇒ 2 + 4 - z = 5
⇒ 6 - z = 5
⇒ - z = 5 - 6
⇒ - z = - 1
⇒ z = 1
∴ x = 2
y = 2
z = 1 (Ans).
গড় (Average)
একজাতীয় কতিপয় রাশির সমষ্টিকে উক্ত রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ রাশিগুলোর গড় বলে।
কয়েকটি সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় বা Average বলা হয়। গড় একটি প্রতিনিধিত্বমূলক মান, যা একটি দলের সাধারণ মান নির্দেশ করে।
আরো সহজভাবে বলা যায় যে, গড় হচ্ছে কয়েকটি ছোট বড় বা অসমান সংখ্যা' বা রাশির মধ্যবিন্দু।
০১ঃ সাধারন গড়
- সূত্র ০১. গড় বের করার সূত্রঃ-= (রাশিগুলোর যোগফল বা সমষ্টি/রাশিগুলোর সংখ্যা)
- সূত্র-২ঃ রাশিগুলোর সমষ্টি = (রাশিগুলোর গড় রাশিগুলোর সংখ্যা)
০২: সংখ্যার গড়
০৩ : ধারাবাহিক সংখ্যার গড়
- মনে রাখুন:
যে কোন ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা বেজোড় হলে তাদের মাঝখানের রাশিটি-ই হচ্ছে তাদের গড়। - আবার ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা জোড় হলে তাদের প্রথম ও শেষ রাশির গড় ই হচ্ছে তাদের গড়।
- ধারাবাহিক সংখ্যার গড় দেয়া থাকলে তাকে মাঝখানে বসিয়ে দুপাশে সমান সংখ্যক সংখ্যা বসাতে হয়।
০৪: বয়সের গড় (পিতা, মাতা ও পুত্র সহ)
- যত জন লোকই থাক:
৫ বছর পরের গড় বয়স হলে গড় ও ৫ বছর বেড়ে যাবে। তেমনি ৫বছর আগের গড় বয়সও ৫ বছর কম ছিল। অর্থাৎ বয়সের কম বেশির সাথে গড় বয়সের কম বেশি সমান হারে হয়। - কিন্তু ৫ বছর পর সমষ্টি বলা হলে যতজনের কথা বলা হবে ততজনের ই ৫ করে বাড়বে। আবার পূর্বের বয়সের কথা বলা হলে সবারই ৫ বছর করে কমবে।
- আগে বা পরের গড় বয়স বের করা: এরুপ ক্ষেত্রে বুঝতে হবে যে দুজন এর ই বয়স বেড়েছে। অর্থাৎ যদি বলা হয় যে দুটি শিশুর বয়সের সমষ্টি ১০ বছর। ৩ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি কত হবে। তখন ১০+৩ লেখা যাবে না। কেননা এক্ষেত্রে দুজনেরই বয়স বেড়েছে। তাই ৩ বছর পর তাদের মোট বয়স বাড়বে ৩+৩=৬ বছর। তাই, তখন তাদের মোট বয়স হবে ১০+৬=১৬ বছর। কিন্তু যদি বলা হয় গড় কত হয়েছে? তাহলে গড় হবে ১০+৩ = ১৩ বছর।
৫: ক্রিকেটের গড়
- মনে রাখবেন, এক ইনিংস বলতে বোঝায় একটি ম্যাচে একবার ব্যাটিং বা বোলিং করা।
- ধরুণ, একজন ব্যাটসম্যান ১টি ম্যাচে ৫০ রান এবং তার পরের ম্যাচে ৩০ রান করল। তাহলে তার দুই ম্যাচে বা দুই ইনিংসের গড় রান হলো ৫০+৩০=৮০÷২=৪০ রান।
- আবার বোলারের ক্ষেত্রে যদি কোন বোলার এক ম্যাচে ৩৬ রান দিয়ে ৪ উইকেট পায় তাহলে তার উইকেট প্রতি গড় রান হবে ৩৬÷৪ = ৯রান
গড় নির্ণয়ের সূত্র
উদাহরণ ১
5, 10, 15 এর গড় নির্ণয় কর।
সংখ্যাগুলোর যোগফল = 5 + 10 + 15 = 30
সংখ্যার সংখ্যা = 3
গড় =
= 10
অতএব, গড় = 10
উদাহরণ ২
একজন ছাত্র ৫টি পরীক্ষায় যথাক্রমে 60, 70, 80, 90 ও 100 নম্বর পেয়েছে। তার গড় নম্বর নির্ণয় কর।
মোট নম্বর =
60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400
পরীক্ষার সংখ্যা = 5
গড় =
= 80
অতএব, গড় নম্বর = 80
বৈশিষ্ট্য
- গড় একটি কেন্দ্রীয় মান নির্দেশ করে।
- সব তথ্যের যোগফল ব্যবহার করা হয়।
- পরিসংখ্যানে গড় খুব গুরুত্বপূর্ণ।
- গড় ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে।
মনে রাখার উপায়
“সব সংখ্যার যোগফল ÷ মোট সংখ্যার সংখ্যা = গড়”
Related Question
View Allপ্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:
\[x+y=1 \quad \text{(1)}\] \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\] \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]
ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
\[y=1-x \quad \text{(4)}\]
ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।
\[kx+(1-x)=2\] \[kx-x=2-1\] \[x(k-1)=1\]
যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।
\[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]
ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।
\[y=1-x\] \[y=1-\frac{1}{k-1}\] \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\] \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]
ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।
\[x+ky=3\] \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]
উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):
\[1+k(k-2)=3(k-1)\] \[1+k^2-2k=3k-3\]
ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।
\[k^2-2k-3k+1+3=0\] \[k^2-5k+4=0\]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।
\[k^2-4k-k+4=0\] \[k(k-4)-1(k-4)=0\] \[(k-1)(k-4)=0\]
সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)
\[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]
ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।
আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।
সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
