নির্বাচিত সংখ্যাটি 5 এর গুণিতক অথবা বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে নমুনা ক্ষেত্র,

\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

অতএব, মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা, \(n(S) = 6\)

ছক্কায় জোড়সংখ্যাগুলোর সেট \( = \{2, 4, 6\}\)

সুতরাং, জোড়সংখ্যা না পাওয়া (অর্থাৎ বিজোড় সংখ্যা পাওয়া) এর অনুকূল ফলাফলের সেট, \(A = \{1, 3, 5\}\)

জোড়সংখ্যা না পাওয়ার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, \(n(A) = 3\)

আমরা জানি, সম্ভাবনা \(P = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল সংখ্যা}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা}}\)

অতএব, জোড়সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা,

\[P(\text{জোড়সংখ্যা না পাওয়া}) = \frac{n(A)}{n(S)}\]

\[= \frac{3}{6}\]

\[= \frac{1}{2}\]

নির্ণেয় সম্ভাবনা: \(\frac{1}{2}\)

১ম ধাপ: Probability Tree অঙ্কন / প্রকাশ

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা পর পর চারবার নিক্ষেপের Probability Tree নিচে তুলে ধরা হলো:

[১ম নিক্ষেপ] → [২য় নিক্ষেপ] → [৩য় নিক্ষেপ] → [৪র্থ নিক্ষেপ] → [ফলাফল]
• H → H → H → H (HHHH), T (HHHT)
• H → H → T → H (HHTH), T (HHTT)
• H → T → H → H (HTHH), T (HTHT)
• H → T → T → H (HTTH), T (HTTT)
• T → H → H → H (THHH), T (THHT)
• T → H → T → H (THTH), T (THTT)
• T → T → H → H (TTHH), T (TTHT)
• T → T → T → H (TTTH), T (TTTT)

২য় ধাপ: নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) উল্লেখ

মুদ্রাটি চারবার নিক্ষেপ করার প্রাপ্ত নমুনাক্ষেত্র \(S\):

\(S = \{ \text{HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT} \}\)

এখানে মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা, \(n(S) = 2^4 = 16\)।

৩য় ধাপ: 'বড়জোর 3T' আসার সম্ভাবনা নির্ণয়

'বড়জোর 3T' আসার অর্থ হলো মুদ্রায় সর্বোচ্চ ৩টি 'T' (Tail) আসবে। অর্থাৎ, ০টি T, ১টি T, ২টি T অথবা ৩টি T আসতে পারে। কেবল ৪টি T (TTTT) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, বড়জোর 3T আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো: HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH।

বড়জোর 3T আসার অনুকূল নমুনাবিন্দুর সংখ্যা, \(n(A) = 16 - 1 = 15\)।

আমরা জানি,

\(P(\text{বড়জোর } 3T) = \frac{n(A)}{n(S)}\)

\(P(\text{বড়জোর } 3T) = \frac{15}{16}\)

উত্তর: \(\frac{15}{16}\)