নিয়াজ মিষ্টির দোকান থেকে ৪৫০ টাকা কেজি দরে ২৫ কেজি মিষ্টি কিনেন। ভ্যাটের হার ৪ টাকা হলে, নিয়াজ কত টাকা ভ্যাট দিলেন?

১ম অনুপাত = $৭ : ১২ = (৭\times ৩) : (১২ \times ৩)$ [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে ৩ দ্বারা গুণ করে]

                                       = ২১ : ৩৬

২য় অনুপাত = $৯ : ১৭ = (৯\times ৪) : (১৭ \times ৪)$ [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে ৪ দ্বারা গুণ করে]

                                        = ৩৬ : ৬৮

অনুপাত দুটির ধারাবাহিক অনুপাত ২১ : ৩৬ : ৬৮ (উত্তর)

ক : খ = ৪ : ৫

$= (৪ \times ৬) : (৫ \times ৬)$  [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে ৬ দ্বারা গুণ করে]

= ২৪ : ৩০

খ : গ = ৬ : ৫

$= (৬ \times ৫) : (৫ \times ৫)$  [অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে ৫ দ্বারা গুণ করে]

= ৩০ : ২৫

ক : খ  : গ = ২৪ : ৩০ : ২৫ (উত্তর)

চারটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতী বলে।

উদাহরণ: ১ম, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ রাশি যথাক্রমে ৫, ১০, ২০ ও ৪০ হলে, ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত হয় ১: ২ এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশির অনুপাত হয় ১: ২। অর্থাৎ সমানুপাত তৈরি হয়। এজন্য প্রতিটি রাশিকে সমানুপাতী বলে।

সমানুপাতের তিনটি রাশি জানা থাকলে ৪র্থ রাশি নির্ণয় করা যায়। এই ৪র্থ রাশি নির্ণয় করার পদ্ধতিকে ত্রৈরাশিক বলে।

উদাহরণ: সমানুপাতের ১ম, ২য় ও ৩য় রাশি হলো যথাক্রমে ৯, ১৮ ও ২০।

এখন,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

সূত্রের মাধ্যমে ৪র্থ রাশি ৪০ বের করার পদ্ধতিই হলো ত্রৈরাশিরু।

এখানে,

১ম রাশি = ৭,২য় রাশি = ১১ এবং ৩য় রাশি = ২৮

আমরা জানি,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

বা, ৭ $\times$ ৪র্থ রাশি = ১১ $\times$ ২৮

বা, ৪র্থ রাশি = $\frac{১১ \times ২৮}{৭}$

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = ৪৪

$\therefore$ নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতী ৪৪। (উত্তর)

এখানে,

১ম রাশি = ৬, ২য় রাশি = $৬\frac{২}{৩}$ = $\frac{২০}{৩}$ এবং ৩য় রাশি = ১৮

আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

বা, ৬ $\times$ ৪র্থ রাশি = $\frac{২০}{৩}\times ১৮$

বা, ৪র্থ রাশি = $\frac{২০\times ১৮}{৩\times ৬}$

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = ২০ (উত্তর)