নৌকা বাইচ প্রতিযোগিতায় বিন্দু হতে করিম OA বরাবর রওনা দিয়ে B বিন্দুতে 5.3 kmh^-1 বেগে পৌঁছাল। কিন্তু রহিম OB বরাবর রওনা দিয়ে নির্দিষ্ট সময়ে নদী পার হয়ে R বিন্দুতে পৌছাল। প্রতিযোগিতার সময় হঠাৎ করে 10 kmh^-1 বেগে বৃষ্টি শুরু হলো। উভয়ক্ষেত্রে নৌকার বেগ 5 kmh^-1 ছিল।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো একটি স্কেলার রাশি যা ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দু থেকে প্রতি একক আয়তনে নির্গত মোট ফ্লাক্সের (flux) পরিমাণ নির্দেশ করে।

বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য কারণ বালির কণাগুলো আলগা ও অসংবদ্ধ হওয়ায় এর সাথে পায়ের ঘর্ষণ বল কম উৎপন্ন হয়। ঘর্ষণ বল কম হওয়ায় হাঁটার জন্য প্রয়োজনীয় প্রতিরোধ সৃষ্টি হয় না এবং পা বালিতে দেবে যায়।

হাঁটার সময় আমরা মাটির উপর চাপ প্রয়োগ করে একটি ঘর্ষণ বলের (friction force) সাহায্যে সামনে অগ্রসর হই। বালির ক্ষেত্রে, পা রাখার ফলে বালি নিচের দিকে সরে যায় এবং পাশের দিকে ছড়িয়ে পড়ে, যার ফলে মাটি থেকে প্রাপ্ত স্বাভাবিক প্রতিক্রিয়া বল (normal force) কমে যায় এবং ঘর্ষণ বলও কমে যায়। এই কারণে বালি স্থিতিশীল থাকে না এবং হাঁটা কঠিন হয়ে পড়ে।

উদ্দীপকের তথ্য এবং চিত্র অনুযায়ী, রহিম নদী পার হওয়ার জন্য তার নৌকাকে স্রোতের সাথে লম্বভাবে OB বরাবর চালনা করেছিল। নদীটির প্রস্থ \(d = 2 \text{ km}\) (চিত্র হতে) এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ \(v_b = 5 \text{ kmh}^{-1}\) (উদ্দীপক হতে)। রহিম নদী পার হতে যে সময় নিয়েছিল তা হলো:

\[t = \frac{\text{নদীর প্রস্থ}}{\text{স্রোতের সাথে লম্ব বরাবর নৌকার বেগ}}\] \[t = \frac{d}{v_b}\] \[t = \frac{2 \text{ km}}{5 \text{ kmh}^{-1}}\] \[t = 0.4 \text{ ঘন্টা}\] \[t = 0.4 \times 60 \text{ মিনিট}\] \[t = 24 \text{ মিনিট}\]

নদী পার হওয়ার সময় নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকার কার্যকরী বেগ বিবেচনা করা হয়। যদি কোনো মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালায়, তবে স্রোতের বেগ শুধু নৌকাকে প্রবাহের দিকে সরিয়ে দেয় কিন্তু নদীর প্রস্থ অতিক্রমের জন্য প্রয়োজনীয় সময়কে প্রভাবিত করে না। এক্ষেত্রে, স্থির পানিতে নৌকার নিজস্ব বেগই নদীর প্রস্থ অতিক্রমের জন্য কার্যকর বেগ হিসেবে কাজ করে।

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত রহিম তার নৌকাকে OB বরাবর চালিয়ে 2 km প্রশস্ত নদীটি পার হতে মোট 0.4 ঘন্টা বা 24 মিনিট সময় নিয়েছিল। স্রোতের বেগ (2 kmh^-1) এক্ষেত্রে রহিমকে কেবল নদী পার হয়ে R বিন্দুতে যেতে সাহায্য করেছে, কিন্তু লম্ব দূরত্ব অতিক্রমের সময়কে নয়।

বৃষ্টিতে চলন্ত অবস্থায় ছাতা ধরার কোণ নির্ণয় করতে আপেক্ষিক বেগের (relative velocity) ধারণা প্রয়োগ করতে হয়। করিম যেহেতু নৌকায় চলাচল করছে, বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ তার বেগের উপর নির্ভরশীল হবে। ছাতা এমনভাবে ধরতে হবে যাতে তা বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিকের সাথে লম্ব থাকে, অর্থাৎ বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিকে ছাতা হেলিয়ে ধরতে হবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, বৃষ্টির বেগ \(V_r = 10 \text{ kmh}^{-1}\) (উলম্বভাবে নিচের দিকে), নৌকার বেগ (পানির সাপেক্ষে) \(V_b = 5 \text{ kmh}^{-1}\) এবং স্রোতের বেগ \(V_c = 2 \text{ kmh}^{-1}\)। করিমের ভূমির সাপেক্ষে লব্ধি বেগ \(|V_k| = 5.3 \text{ kmh}^{-1}\) দেওয়া আছে।

ধরা যাক, স্রোতের দিক x-অক্ষ বরাবর এবং নদীর প্রস্থ বরাবর দিক y-অক্ষ। নৌকার বেগ \(V_b\) যদি স্রোতের দিকের সাথে \(\alpha\) কোণ তৈরি করে, তাহলে নৌকার বেগের উপাংশ হবে \(V_{bx} = V_b \cos\alpha\) এবং \(V_{by} = V_b \sin\alpha\)।

সুতরাং, করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগ \(V_k = (V_b \cos\alpha + V_c)\hat{i} + (V_b \sin\alpha)\hat{j}\)।

লব্ধি বেগের মান \(|V_k|^2 = (V_b \cos\alpha + V_c)^2 + (V_b \sin\alpha)^2\)।

মান বসিয়ে পাই:

\(5.3^2 = (5 \cos\alpha + 2)^2 + (5 \sin\alpha)^2\)
\(28.09 = 25 \cos^2\alpha + 20 \cos\alpha + 4 + 25 \sin^2\alpha\)
\(28.09 = 25(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + 20 \cos\alpha + 4\)
\(28.09 = 25 + 20 \cos\alpha + 4\)
\(28.09 = 29 + 20 \cos\alpha\)
\(20 \cos\alpha = 28.09 - 29 = -0.91\)
\(\cos\alpha = \frac{-0.91}{20} = -0.0455\)

অতএব, \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-0.0455)^2} = \sqrt{1 - 0.00207025} = \sqrt{0.99792975} \approx 0.99896\)।

করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগের উপাংশসমূহ:

\(V_{k,x} = 5 \cos\alpha + 2 = 5(-0.0455) + 2 = -0.2275 + 2 = 1.7725 \text{ kmh}^{-1}\)
\(V_{k,y} = 5 \sin\alpha = 5 \times 0.99896 \approx 4.9948 \text{ kmh}^{-1}\)

সুতরাং, করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগ \(V_k = (1.7725 \hat{i} + 4.9948 \hat{j})\text{ kmh}^{-1}\)।

বৃষ্টির বেগ \(V_r = (0 \hat{i} - 10 \hat{j})\text{ kmh}^{-1}\) (উলম্বভাবে নিচের দিকে)।

করিমের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ \(V_{r,k} = V_r - V_k\):

\(V_{r,k,x} = 0 - 1.7725 = -1.7725 \text{ kmh}^{-1}\)
\(V_{r,k,y} = -10 - 4.9948 = -14.9948 \text{ kmh}^{-1}\)

ধরা যাক, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে ছাতাটি উল্লম্বের সাথে \(\phi\) কোণে ধরতে হবে। এই কোণটি আপেক্ষিক বৃষ্টির বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশের অনুপাত থেকে পাওয়া যায়:

\(\tan\phi = \frac{|V_{r,k,x}|}{|V_{r,k,y}|} = \frac{1.7725}{14.9948}\)
\(\tan\phi \approx 0.11821\)
\(\phi = \arctan(0.11821) \approx 6.74^\circ\)

সুতরাং, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে উল্লম্বের সাথে প্রায় \(6.74^\circ\) কোণে ছাতা ধরতে হবে। যেহেতু বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ ঋণাত্মক (স্রোতের দিকের বিপরীত) এবং উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে, তাই করিমকে তার অনুভূমিক গতির দিকের বিপরীতে (অর্থাৎ, যেদিকে সে স্রোতের সাপেক্ষে যাচ্ছে তার উল্টো দিকে) সামান্য হেলিয়ে ছাতা ধরতে হবে।