উত্তরঃ
বৃষ্টিতে চলন্ত অবস্থায় ছাতা ধরার কোণ নির্ণয় করতে আপেক্ষিক বেগের (relative velocity) ধারণা প্রয়োগ করতে হয়। করিম যেহেতু নৌকায় চলাচল করছে, বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ তার বেগের উপর নির্ভরশীল হবে। ছাতা এমনভাবে ধরতে হবে যাতে তা বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিকের সাথে লম্ব থাকে, অর্থাৎ বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিকে ছাতা হেলিয়ে ধরতে হবে।
উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, বৃষ্টির বেগ \(V_r = 10 \text{ kmh}^{-1}\) (উলম্বভাবে নিচের দিকে), নৌকার বেগ (পানির সাপেক্ষে) \(V_b = 5 \text{ kmh}^{-1}\) এবং স্রোতের বেগ \(V_c = 2 \text{ kmh}^{-1}\)। করিমের ভূমির সাপেক্ষে লব্ধি বেগ \(|V_k| = 5.3 \text{ kmh}^{-1}\) দেওয়া আছে।
ধরা যাক, স্রোতের দিক x-অক্ষ বরাবর এবং নদীর প্রস্থ বরাবর দিক y-অক্ষ। নৌকার বেগ \(V_b\) যদি স্রোতের দিকের সাথে \(\alpha\) কোণ তৈরি করে, তাহলে নৌকার বেগের উপাংশ হবে \(V_{bx} = V_b \cos\alpha\) এবং \(V_{by} = V_b \sin\alpha\)।
সুতরাং, করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগ \(V_k = (V_b \cos\alpha + V_c)\hat{i} + (V_b \sin\alpha)\hat{j}\)।
লব্ধি বেগের মান \(|V_k|^2 = (V_b \cos\alpha + V_c)^2 + (V_b \sin\alpha)^2\)।
মান বসিয়ে পাই:
\(5.3^2 = (5 \cos\alpha + 2)^2 + (5 \sin\alpha)^2\)
\(28.09 = 25 \cos^2\alpha + 20 \cos\alpha + 4 + 25 \sin^2\alpha\)
\(28.09 = 25(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + 20 \cos\alpha + 4\)
\(28.09 = 25 + 20 \cos\alpha + 4\)
\(28.09 = 29 + 20 \cos\alpha\)
\(20 \cos\alpha = 28.09 - 29 = -0.91\)
\(\cos\alpha = \frac{-0.91}{20} = -0.0455\)
অতএব, \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-0.0455)^2} = \sqrt{1 - 0.00207025} = \sqrt{0.99792975} \approx 0.99896\)।
করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগের উপাংশসমূহ:
\(V_{k,x} = 5 \cos\alpha + 2 = 5(-0.0455) + 2 = -0.2275 + 2 = 1.7725 \text{ kmh}^{-1}\)
\(V_{k,y} = 5 \sin\alpha = 5 \times 0.99896 \approx 4.9948 \text{ kmh}^{-1}\)
সুতরাং, করিমের ভূমির সাপেক্ষে বেগ \(V_k = (1.7725 \hat{i} + 4.9948 \hat{j})\text{ kmh}^{-1}\)।
বৃষ্টির বেগ \(V_r = (0 \hat{i} - 10 \hat{j})\text{ kmh}^{-1}\) (উলম্বভাবে নিচের দিকে)।
করিমের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ \(V_{r,k} = V_r - V_k\):
\(V_{r,k,x} = 0 - 1.7725 = -1.7725 \text{ kmh}^{-1}\)
\(V_{r,k,y} = -10 - 4.9948 = -14.9948 \text{ kmh}^{-1}\)
ধরা যাক, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে ছাতাটি উল্লম্বের সাথে \(\phi\) কোণে ধরতে হবে। এই কোণটি আপেক্ষিক বৃষ্টির বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশের অনুপাত থেকে পাওয়া যায়:
\(\tan\phi = \frac{|V_{r,k,x}|}{|V_{r,k,y}|} = \frac{1.7725}{14.9948}\)
\(\tan\phi \approx 0.11821\)
\(\phi = \arctan(0.11821) \approx 6.74^\circ\)
সুতরাং, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে উল্লম্বের সাথে প্রায় \(6.74^\circ\) কোণে ছাতা ধরতে হবে। যেহেতু বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ ঋণাত্মক (স্রোতের দিকের বিপরীত) এবং উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে, তাই করিমকে তার অনুভূমিক গতির দিকের বিপরীতে (অর্থাৎ, যেদিকে সে স্রোতের সাপেক্ষে যাচ্ছে তার উল্টো দিকে) সামান্য হেলিয়ে ছাতা ধরতে হবে।
