প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1-3x{)}^5$ কে বিস্তৃত কর।

(জ্ঞানমূলক)

ধারাটির n-তম পদ,

\(U_n = (2p+1)^{n-2}\)

ধারাটির পদগুলো হলো:

\(U_1 = (2p+1)^{1-2} = (2p+1)^{-1} = \frac{1}{2p+1}\)

\(U_2 = (2p+1)^{2-2} = (2p+1)^0 = 1\)

\(U_3 = (2p+1)^{3-2} = (2p+1)^1 = 2p+1\)

এক্ষেত্রে, প্রথম পদ \(a = \frac{1}{2p+1}\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{\frac{1}{2p+1}} = 2p+1\)। এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি (infinite sum) থাকার শর্ত হলো \(|r| < 1\)।

অতএব, \(|2p+1| < 1\)

বা, \(-1 < 2p+1 < 1\)

প্রথমে, প্রতিটি অংশ থেকে \(1\) বিয়োগ করি:

\(-1 - 1 < 2p < 1 - 1\)

বা, \(-2 < 2p < 0\)

এরপর, প্রতিটি অংশকে \(2\) দ্বারা ভাগ করি:

\(\frac{-2}{2} < \frac{2p}{2} < \frac{0}{2}\)

বা, \(-1 < p < 0\)

সুতরাং, \(p\) এর উপর শর্ত হলো \(-1 < p < 0\)।

অসীমতক সমষ্টি \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\)

এখানে, \(a = \frac{1}{2p+1}\) এবং \(r = 2p+1\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{1 - (2p+1)}\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{1 - 2p - 1}\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{-2p}\)

\(S_\infty = \frac{1}{-2p(2p+1)}\)

সুতরাং, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি হলো \(\frac{1}{-2p(2p+1)}\)।

আমরা জানি, দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদটি হলো \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)। এই সূত্র ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট পদের সহগ নির্ণয় করা যায়, যেখানে n হলো সূচক, r হলো পদের ক্রম (সূচক থেকে 1 কম), a হলো প্রথম পদ এবং b হলো দ্বিতীয় পদ।

উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী রাশিটি হলো \(A=\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^8\)। এখানে, \(a = x^2\), \(b = \frac{k}{x}\) এবং \(n=8\)। সুতরাং, এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ বা \((r+1)\) তম পদটি হবে:

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^2)^{8-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{2(8-r)} k^r x^{-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-2r-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-3r}\)

আমরা \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করতে চাই। তাই, \(x\) এর ঘাতকে 4 এর সমান ধরে \(r\) এর মান বের করতে হবে:

\(16 - 3r = 4\)
\(3r = 16 - 4\)
\(3r = 12\)
\(r = 4\)

এখন, \(r=4\) বসিয়ে \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করি:

\(x^4\) এর সহগ \(= \binom{8}{4} k^4\)
আমরা জানি, \(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)

অতএব, \(x^4\) এর সহগ হলো \(70k^4\)।
প্রশ্নমতে, \(x^4\) এর সহগ 43750।
\(\therefore 70k^4 = 43750\)
\(k^4 = \frac{43750}{70}\)
\(k^4 = 625\)
\(k = \pm \sqrt[4]{625}\)
\(k = \pm 5\)

সুতরাং, k এর মান হলো \(\pm 5\)।