p এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

(অনুধাবন)

\( 1 - 15x + 90x^2 - 270x^3 + 405x^4 - 243x^5 \)

আমরা জানি, দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদটি হলো \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)। এই সূত্র ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট পদের সহগ নির্ণয় করা যায়, যেখানে n হলো সূচক, r হলো পদের ক্রম (সূচক থেকে 1 কম), a হলো প্রথম পদ এবং b হলো দ্বিতীয় পদ।

উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী রাশিটি হলো \(A=\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^8\)। এখানে, \(a = x^2\), \(b = \frac{k}{x}\) এবং \(n=8\)। সুতরাং, এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ বা \((r+1)\) তম পদটি হবে:

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^2)^{8-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{2(8-r)} k^r x^{-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-2r-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-3r}\)

আমরা \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করতে চাই। তাই, \(x\) এর ঘাতকে 4 এর সমান ধরে \(r\) এর মান বের করতে হবে:

\(16 - 3r = 4\)
\(3r = 16 - 4\)
\(3r = 12\)
\(r = 4\)

এখন, \(r=4\) বসিয়ে \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করি:

\(x^4\) এর সহগ \(= \binom{8}{4} k^4\)
আমরা জানি, \(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)

অতএব, \(x^4\) এর সহগ হলো \(70k^4\)।
প্রশ্নমতে, \(x^4\) এর সহগ 43750।
\(\therefore 70k^4 = 43750\)
\(k^4 = \frac{43750}{70}\)
\(k^4 = 625\)
\(k = \pm \sqrt[4]{625}\)
\(k = \pm 5\)

সুতরাং, k এর মান হলো \(\pm 5\)।