প্রতিসরণাঙ্ক কাকে বলে?

আলোকরশ্মি যখন এক স্বচ্ছ মাধ্যম থেকে অন্য স্বচ্ছ মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন আপতন কোণ, প্রতিসরণ কোণ এবং মাধ্যমদ্বয়ের প্রতিসরাঙ্কের মধ্যে একটি সম্পর্ক থাকে, যা স্নেলের সূত্র নামে পরিচিত। স্নেলের সূত্রানুসারে, \(\frac{\sin i}{\sin r} = n_{ab}\) যেখানে \(i\) আপতন কোণ, \(r\) প্রতিসরণ কোণ এবং \(n_{ab}\) হল a মাধ্যম সাপেক্ষে b মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্ক। আবার, মাধ্যমদ্বয়ে আলোর বেগের অনুপাত থেকেও প্রতিসরাঙ্ক নির্ণয় করা যায়, অর্থাৎ \(n_{ab} = \frac{v_a}{v_b}\), যেখানে \(v_a\) ও \(v_b\) যথাক্রমে a ও b মাধ্যমে আলোর বেগ। এই সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে উদ্দীপকের শর্ত অনুযায়ী b মাধ্যমে আলোর বেগের পরিবর্তন বিশ্লেষণ করা যেতে পারে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুসারে, a মাধ্যমে আলোর বেগ \(v_a = 3 \times 10^8\) \(ms^{-1}\)। আলোক রশ্মি a মাধ্যম থেকে b মাধ্যমে প্রবেশ করায় এর বেগ এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস পায়। অর্থাৎ, b মাধ্যমে আলোর বেগ \(v_b = v_a - \frac{1}{3}v_a = \frac{2}{3}v_a\)।
অতএব, \(v_b = \frac{2}{3} \times (3 \times 10^8) = 2 \times 10^8\) \(ms^{-1}\)।
এখন, a মাধ্যম সাপেক্ষে b মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্ক, \(n_{ab} = \frac{v_a}{v_b} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5\)।
স্নেলের সূত্রানুসারে, প্রথম ক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি, \(\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_a}{v_b}\) ......(1)

প্রশ্নানুযায়ী, আপতন কোণ \(i\) এর মান অপরিবর্তিত রেখে প্রতিসরণ কোণ \(r\) এর মান 5° বৃদ্ধি করা হলো, অর্থাৎ নতুন প্রতিসরণ কোণ হবে \(r' = r + 5^\circ\)। এই নতুন পরিস্থিতিতে, যদি b মাধ্যমের আলোর বেগ পরিবর্তিত হয়ে \(v'_b\) হয়, তবে স্নেলের সূত্রানুসারে আমরা লিখতে পারি:
\(\frac{\sin i}{\sin (r + 5^\circ)} = \frac{v_a}{v'_b}\) ......(2)
সমীকরণ (1) থেকে আমরা পাই, \(\sin i = \frac{v_a}{v_b} \sin r\)। এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
\(\frac{\frac{v_a}{v_b} \sin r}{\sin (r + 5^\circ)} = \frac{v_a}{v'_b}\)
উভয় পক্ষ থেকে \(v_a\) বাদ দিয়ে পাই,
\(\frac{\sin r}{v_b \sin (r + 5^\circ)} = \frac{1}{v'_b}\)
সুতরাং, \(v'_b = v_b \frac{\sin (r + 5^\circ)}{\sin r}\)

আলোকরশ্মির প্রতিসরণের ক্ষেত্রে প্রতিসরণ কোণ \(r\) সাধারণত 0° থেকে 90° এর মধ্যে থাকে। এই সীমার মধ্যে, কোণের মান বৃদ্ধির সাথে সাথে sine (sin) ফাংশনের মান বৃদ্ধি পায়। যেহেতু \(r+5^\circ > r\), তাই \(\sin (r + 5^\circ) > \sin r\) হবে, যতক্ষণ না \(r+5^\circ\) 90° অতিক্রম করে। অতএব, \(\frac{\sin (r + 5^\circ)}{\sin r}\) অনুপাতের মান 1 এর চেয়ে বড় হবে। উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, \(v'_b = v_b \times (\text{1 এর চেয়ে বড় একটি মান})\)। এর অর্থ হলো, নতুন পরিস্থিতিতে b মাধ্যমে আলোর বেগ \(v'_b\) এর মান পূর্বের বেগ \(v_b\) এর চেয়ে বেশি হবে। সুতরাং, আপতন কোণের মান পরিবর্তন না করে যদি প্রতিসরণ কোণের মান 5° বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে b মাধ্যমে আলোর বেগ বৃদ্ধি করতে হবে।