উত্তরঃ
একটি কুয়া থেকে পানি উত্তোলন করতে হলে অভিকর্ষজ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। এক্ষেত্রে কাজ সম্পন্ন করার হারকে ক্ষমতা (Power) বলা হয়। সাধারণত, একটি গভীর কুয়া থেকে পানি উত্তোলনের ক্ষেত্রে, উত্তোলনকৃত পানির ভর এবং কুয়ার গভীরতা উভয়ই বিবেচনায় আনতে হয়। কুয়ার বিভিন্ন গভীরতা থেকে পানি উত্তোলনে ভিন্ন ভিন্ন কাজ করতে হয়, তাই মোট কাজ নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। ক্ষমতা (P) = কৃত কাজ (W) / সময় (t) এই সূত্র ব্যবহার করে পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় করা হয়।
উদ্দীপক অনুযায়ী, একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা \(H = 12 \, \text{m}\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = 3/2 = 1.5 \, \text{m}\)। প্রথম পাম্পটি অর্ধেক পানি শূন্য করে। যেহেতু কুয়াটি একটি সিলিন্ডার আকৃতির, তাই অর্ধেক পানি শূন্য করার অর্থ হলো কুয়ার উপরের \(H/2\) অংশ পানি পাম্প করা হয়েছে। এক্ষেত্রে কৃত কাজ নির্ণয়ের জন্য, \(y\) গভীরতা থেকে \(dy\) পুরুত্বের একটি পানির স্তর উত্তোলনে কৃত কাজ \(dW = \rho g (\pi r^2 dy) y\) সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
প্রথম পাম্পের জন্য কৃত কাজ (\(W_1\)):
উপরের অর্ধেক পানি (অর্থাৎ \(y=0\) থেকে \(y=H/2\) পর্যন্ত) উত্তোলনে কৃত কাজ:
\[ W_1 = \int_{0}^{H/2} \rho g \pi r^2 y \, dy = \frac{1}{2} \rho g \pi r^2 \left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} \rho g \pi r^2 H^2 \]
এখানে, পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)।
\[ W_1 = \frac{1}{8} \times 1000 \times 9.8 \times \pi \times (1.5)^2 \times (12)^2 \]
\[ W_1 = \frac{1}{8} \times 1000 \times 9.8 \times \pi \times 2.25 \times 144 \]
\[ W_1 = 396900 \pi \, \text{J} \approx 1246900.05 \, \text{J} \]
প্রথম পাম্পের ক্ষমতা \(P_1 = 6 \, \text{H.P.} = 6 \times 746 \, \text{W} = 4476 \, \text{W}\)।
প্রথম পাম্প দ্বারা অর্ধেক পানি শূন্য করতে সময় (\(t_1\)):
\[ t_1 = \frac{W_1}{P_1} = \frac{396900 \pi}{4476} \, \text{s} \approx \frac{1246900.05}{4476} \approx 278.58 \, \text{s} \]
মোট নির্ধারিত সময় \(T = 22 \, \text{minutes} = 22 \times 60 = 1320 \, \text{s}\)।
দ্বিতীয় পাম্পের জন্য কৃত কাজ (\(W_2\)):
বাকি অর্ধেক পানি (অর্থাৎ \(y=H/2\) থেকে \(y=H\) পর্যন্ত) উত্তোলনে কৃত কাজ:
\[ W_2 = \int_{H/2}^{H} \rho g \pi r^2 y \, dy = \frac{1}{2} \rho g \pi r^2 \left(H^2 - \left(\frac{H}{2}\right)^2\right) = \frac{3}{8} \rho g \pi r^2 H^2 \]
\[ W_2 = \frac{3}{8} \times 1000 \times 9.8 \times \pi \times (1.5)^2 \times (12)^2 \]
\[ W_2 = 1190700 \pi \, \text{J} \approx 3740690.14 \, \text{J} \]
দ্বিতীয় পাম্পের জন্য অবশিষ্ট সময় (\(t_2\)):
\[ t_2 = T - t_1 = 1320 - 278.58 = 1041.42 \, \text{s} \]
দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা (\(P_2\)):
\[ P_2 = \frac{W_2}{t_2} = \frac{1190700 \pi}{1041.42} \, \text{W} \approx \frac{3740690.14}{1041.42} \approx 3591.99 \, \text{W} \]
হর্সপাওয়ারে রূপান্তর করলে:
\[ P_2 = \frac{3591.99}{746} \, \text{H.P.} \approx 4.815 \, \text{H.P.} \]
সুতরাং, প্রথম পাম্পের ক্ষমতা \(P_1 = 6 \, \text{H.P.}\) এবং দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা \(P_2 \approx 4.815 \, \text{H.P.}\)।
পাম্প দুটির ক্ষমতার তারতম্য:
\[ \text{তারতম্য} = P_1 - P_2 = 6 - 4.815 = 1.185 \, \text{H.P.} \]
গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রথম পাম্পের ক্ষমতা (6 H.P.) দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা (প্রায় 4.815 H.P.) অপেক্ষা প্রায় 1.185 H.P. বেশি। এই তারতম্য নির্দেশ করে যে, পূর্বনির্ধারিত সময়ে বাকি অর্ধেক কাজ সম্পন্ন করার জন্য দ্বিতীয় পাম্পটির ক্ষমতা প্রথম পাম্পের তুলনায় কম ছিল, কারণ প্রথম পাম্প তুলনামূলকভাবে কম কাজ কম সময়ে সম্পন্ন করেছে এবং বাকি কঠিন কাজ বেশি সময়ে শেষ করার জন্য দ্বিতীয় পাম্প ব্যবহার করা হয়েছে।
