প্রমাণ করুন যে, দুইটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ হবে।

স্পর্শক (Tangent) হলো বৃত্ত জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের ভেতরে প্রবেশ করে না।

স্পর্শক (Tangent)

যে সরলরেখা বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাকে স্পর্শক বলা হয়। স্পর্শ করার বিন্দুটিকে স্পর্শবিন্দু (Point of Contact) বলা হয়।

স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য

• স্পর্শক বৃত্তকে মাত্র এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়

মূল উপপাদ্য ১: স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

$\mathrm{OT}\perp \mathrm{PT}$

এখানে O = কেন্দ্র, T = স্পর্শবিন্দু, PT = স্পর্শক

উপপাদ্য ২: একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের সমতা

বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

এখানে P = বাহ্যিক বিন্দু, A ও B = স্পর্শবিন্দু

উপপাদ্য ৩: কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব

কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব সর্বদা বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

$\mathrm{OT}=r$

উপপাদ্য ৪: স্পর্শক ও জ্যা সম্পর্ক

স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত জ্যার উপর অর্ধবৃত্তীয় কোণ তৈরি করে।

• স্পর্শক ও জ্যার মধ্যে কোণ বৃত্তের অভ্যন্তরীণ কোণের সমান

উপপাদ্য ৫: দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ

বাহ্যিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ কেন্দ্রের কোণের সম্পূরক অংশের অর্ধেক।

$\mathrm{\angle APB}=180°-\mathrm{\angle AOB}$

উদাহরণ

একটি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং বাইরের বিন্দু P থেকে দুইটি স্পর্শক PA এবং PB অঙ্কিত হলে,

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

অর্থাৎ দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত নিয়ম

• স্পর্শক = এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• ব্যাসার্ধ ⟂ স্পর্শক
• একই বাহ্যিক বিন্দু থেকে স্পর্শক দুইটি সমান

মনে রাখার কৌশল

স্পর্শক সম্পর্কিত সব উপপাদ্যের মূল ধারণা:
“স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ সবসময় লম্ব”

উপপাদ্য ২৫. বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT ⊥ OP.

অঙ্কন : PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O,Q যোগ করি।

প্রমাণ: যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ P বিন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

$\therefore$ OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শবিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য।

$\therefore$ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হল ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।

সুতরাং PT ⊥ OP [কোনো সরলরেখার বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে উক্ত সরলরেখার উপর যতগুলো রেখাংশ টানা যায় তন্মধ্যে লম্ব রেখাংশটিই ক্ষুদ্রতম]

(প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ৮. বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

অনুসিদ্ধান্ত ৯. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।

অনুসিদ্ধান্ত ১০. বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।

উপপাদ্য ২৬. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক । প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB

অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, P যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যেহেতু PA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, সেহেতু PA ⊥ OA

$\therefore$ ∠PAO = এক সমকোণ। [$\because$ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]

অনুরূপে ∠PBO = এক সমকোণ।

$\therefore$ ∆PAO এবং ∆PBO উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২. এখন, ∆PAO এবং ∆PBO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ PO = অতিভুজ PO এবং OA = OB [$\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore$ ∆PAO ≅ ∆PBO [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore$ PA = PB । (প্রমাণিত)

মন্তব্য :

১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।

উপপাদ্য ২৭. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ।

মনে করি, A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, A,O,B বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কন : যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করেছে, সুতরাং O বিন্দুতে এদের একটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে। এখন O বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক POQ অঙ্কন করি এবং O, A ও O, B যোগ করি।

প্ৰমাণ :

A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং POQ স্পর্শক।

সুতরাং ∠POA = এক সমকোণ। তদ্রূপ ∠POB = এক সমকোণ

∠POA + ∠POB = এক সমকোণ + এক সমকোণ = দুই সমকোণ।

বা ∠AOB দুই সমকোণ

অর্থাৎ, ∠AOB একটি সরলকোণ।

$\therefore$ A, O, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ১১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ১২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।