মনে করি, AC ও BD সরলরেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠AOB ও COD এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে OE ও OF। প্রমাণ করতে হবে যে, OE ও OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
প্রমাণ: এখানে, ∠AOB এর সমদ্বিখন্ডক OE.
∠AOE = ∠BOE
আবার, ∠AOB = ∠AOE + ∠BОЕ
বা, ∠AOB = ∠AOE + ∠AOE [∠AOE = ∠BOE]
বা, ∠AOB = 2∠AOE
অনুরূপভাবে, ∠COD = 2∠COF
এখন, ∠AOB = ∠COD [ বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
বা, 2∠AOE = 2∠COF
বা, ∠AOE = ∠COF
যেহেতু ∠AOE ও ∠COF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
সুতরাং ∠AOB ও ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডক OE ও OF একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)
বিকল্প সমাধান: মনে করি, AC ও BD সরলরেখাদ্বয় পরস্পর ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠AOB ও ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে OE ও OF।
প্রমাণ করতে হবে যে, OE ও OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
প্রমাণ: AC রেখা BD রেখার সাথে O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
∠COD + ∠COB = দুই সমকোণ
আবার, ∠COB + ∠AOB = দুই সমকোণ
অর্থাৎ, ∠COD + ∠COB = ∠COB + ∠AOB
বা, ∠COD = ∠AOB [উভয় পক্ষ থেকে ∠COB বাদ দিয়ে]
বা, ∠COD= ∠AOB
∠DOF = ∠BOE [ ∠AOB ও ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে OE ও OF]
এখন, ∠BOC + ∠COF + ∠DOF = দুই সমকোণ
বা, ∠BOE + ∠BOC + ∠COF = দুই সমকোণ [ ∠DOF = ∠BOE]
∠EOF = দুই সমকোণ = এক সরলকোণ
OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সুতরাং ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডক OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)
১।২৪ কোণের সম্পূরক কোণ কত?
(ক) 62°
(খ) 118°
(গ) 152°
(গ) 332
২।37° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
(ক) 53°
(খ) 37°
(গ) 127°
(গ) 143°
৩। দুইটি কোণ পরস্পর পূরক হলে এদের সমষ্টি কত?
(ক) ৩৬০°
(খ) ১৮০°
(গ) ৯০°
(ঘ) ৮০°
৪। ত্রিকোণীয় একটি কোণ ৪৫° হলে অপর বৃহত্তর কোণটি কত?
(ক) ৩৬০°
(খ) ১৮০°
(গ) ৯০°
(ঘ) ৮০°
৫। সম্পাদ্যের ক্ষেত্রে-
(i) যা দেওয়া থাকে তাই উপাত্ত
(ii) যা করণীয়, তাই অঙ্কন
(iii) যুক্তি দ্বারা অঙ্কন করা হলো প্রমাণ
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii
উপরের চিত্রের আলোকে (৬-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
৬। ∠a = কত?
(ক) ৩০°
(খ) ৪০°
(গ) ৫০°
(ঘ) ৯০°
৭। ∠a+b = কত?
(ক) ৪০°
(খ) ৫০°
(গ) ৬০°
(ঘ) ৯০°
৮। ∠c = কত?
(ক) ৯০°
(খ) ১৩০°
(গ) ১৬০°
(ঘ) ১৮০°
৯। চাঁদার সাহায্যে আঁকা যায়-
(i) ৪৫° ডিগ্রি কোণ
(ii) ১৫৫° কোণ
(iii) বৃত্ত
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii
১০। রুলারের সাহায্যে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। এবার রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক।
১১। রুলারের সাহায্যে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত কর। দ্বিখণ্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখ তারা সমান হয়েছে কিনা।
১২। রুলারের সাহায্যে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ কর।
১৩। 7 সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে রুলার-কম্পাসের সাহায্যে একটি নির্দিষ্ট লম্ব আঁক।
১৪। ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁক।
১৫। AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁক। আবার CD রেখার উপর একটি বিন্দু E লও। এবার E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁক।
১৬। চাঁদা ব্যবহার না করে 45° কোণটি আঁক।
১৭। ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো আঁক। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে ঐ রেখাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত কর।
১৮। পাশের চিত্রে,
ক. ∠ABC এর সম্পূরক কোণ কোনটি?
খ. ∠ACB এর মান কত এবং কেন?
গ. প্রমাণ কর যে, ∠DCE + ∠ECB = 180°.
১৯। পাশের চিত্রে,
ক. ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ কোনটি?
খ. ∠AOB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে সন্নিহিত কোণ দুইটির সাধারণ বাহু নির্দেশ কর।
গ. প্রমাণ কর যে, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডক একই সরলরেখায় অবস্থিত।
২০। চিত্রে ∠ABC = 90°
(ক) ত্রিভুজের তিনটি কোনের সমষ্টিকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) ∠ABC কে সমদ্বিখণ্ডিত কর এবং অংকনের বিবরণ দাও।
(গ) x কোণের সমান করে একটি কোণ আঁক এবং বিবরণ দাও।
Related Question
View Allবুলারের সাহায্যে ৪ সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ অঙ্কন:
বুলারের সাহায্যে ৪ সে. মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি। A ও B এর সংযোগ রেখা AB আঁকি। এই সংযোগ রেখা AB-ই নির্ণেয় ৪ সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ।
AB রেখাংশের সমান করে রেখাংশ অঙ্কন: AB এর সমান রেখাংশ আঁকার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:
১. পেন্সিল কম্পাসের কাঁটার দিক A বিন্দুতে এবং, পেন্সিলের দিক B বিন্দুতে বসাই।
২. যেকোনো রশ্মি CE নিই। C-কে কেন্দ্র করে কম্পাসের সাহায্যে AB রেখাংশের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি CE কে D বিন্দুতে ছেদ করে। CD রেখাংশই AB রেখাংশের সমান।
বুলারের সাহায্যে 6 সে. মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি। A ও B এর সংযোগ রেখা AB আঁকি। তাহলে AB ই নির্ণেয় 6 সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ। AB রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।
অঙ্কনের ধাপ:
১. A কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর দুই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
২. B কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. C ও D যোগ করি। CD রেখাংশ AB রেখাংশকে ০ বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশ ০ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।
পরিমাপ যাচাই: রুলারের সাহায্যে AO এবং OB রেখাংশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি। AB রেখাংশ বরাবর রুলার স্থাপন করি যেন, AB রেখাংশের A বিন্দু রুলারের ০ নির্দেশিত দাগের সাথে মিলে। এখন, AB রেখাংশের ০ বিন্দু রুলারের ৩ সে.মি., ও B বিন্দু রুলারের 6 সে.মি. দাগে পড়ে।
AO = 3 সে.মি. এবং OB = (6 - 3) সে.মি. = 3 সে.মি. অর্থাৎ, AO = OB = 3 সে.মি..।
সুতরাং, দ্বিখণ্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখা গেল, দিখন্ডিত রেখাংশ দুইটি সমান।
রুলারের সাহায্যে ৪ সে. মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি। A ও B এর সংযোগ রেখা AB আঁকি। এই সংযোগ রেখা AB-ই নির্ণেয় ৪ সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ।
AB রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ করতে হবে।
অঙ্কনের ধাপ :
১. A কে কেন্দ্র করে AB-এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
২. B কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. এক দিকের বৃত্তচাপদ্বয় P বিন্দুতে এবং অপর দিকের বৃত্তচাপদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করে।
8. P, Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. এ কে কেন্দ্র করে AO এর সমান বা অর্ধেকের বেশি 'ব্যাসার্ধ দিয়ে AO এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৬. B কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে OB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৭. ০ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে OA এর উভয় পাশে দুইটি এবং OB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৮. উক্ত বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে R, S, U, V বিন্দুতে ছেদ করে।
৯. R, S ও U, V যোগ করি। RS রেখা AB কে M বিন্দুতে এবং UV রেখা AB কে N বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, AB রেখাটি M, O, N বিন্দুতে সমান চার অংশে বিভক্ত হলো। অর্থাৎ, AM = MO = ON=NB.
মনে করি, 7 সে.মি. দৈর্ঘ্যের সমান একটি রেখাংশ ABI AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপ:
১. বুলারের সাহায্যে AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু P নির্ণয় করি।
২. P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. C কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করে। আবার D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. E ও D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q, P যোগ করি। QP রেখাংশ AB রেখাংশের উপর P মধ্যবিন্দুতে লম্ব। অর্থাৎ QP AB.
মনে করি, ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সমান একটি রেখাংশ AB। AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপ:
১. বুলারের সাহায্যে AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু P নির্ণয় করি।
২. এখন, AB রেখাংশের A ও B কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P, Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB রেখাংশের উপর P মধ্যবিন্দুতে লম্ব। অর্থাৎ, PQ AB.
দেওয়া আছে, AB সরলরেখার উপর C একটি বিন্দু। AB রেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁকতে হবে। আবার, CD রেখার উপর একটি বিন্দু E নিয়ে E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের ধাপ:
১. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি AB-কে P'বিন্দুতে ছেদ করে।
২. P কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ। 'আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. আবার, Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে. R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. QR কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি S বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. C, S যোগ করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি। অতএব, AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬. এখন, CD রেখার উপর E একটি বিন্দু নিই। E বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা DE কে T বিন্দুতে ছেদ করে।
৭. T কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে U বিন্দুতে ছেদ করে।
৮. আবার, U কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে V বিন্দুতে ছেদ করে।.
৯. Uও V কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি F বিন্দুতে ছেদ করে।
১০. E, F যোগ করি। অতএব, CD সরলরেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।
তাহলে, AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব এবং CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
