প্রমাণ কর যে, ∠BPQ + ∠PQD = দুই সমকোণ

চিত্রে, ∠APB = 180° [সোজা কোণ]

বা, ∠APE + ∠BPE = 180°

বা, ∠APE + 60° = 180°

বা, ∠APE = 180° – 60°    [∴ ∠BPE = 60°]

বা, ∠APE = 120°

বা, $\frac{1}{2}$$\angle$APE$=$$\frac{120°}{2}$       [2  দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$$\frac{1}{2}$$\angle$APE$=$60$°$ (দেখানো হলো)

যেহেতু AB ∥ CD এবং EF ছেদক রেখা।

সুতরাং, ∠BPE = অনুরূপ ∠PQR = 60°

আবার, ∠CQF = ∠PQR  [বিপরীত কোণ]

∴ ∠CQF = 60° (Ans.)

দেওয়া আছে, ∠BPE = 60°

এখন, ∠APE + ∠BPE = 180° [রৈখিক যুগল কোণ]
বা, ∠APE + 60° = 180°
বা, ∠APE = 180° – 60°
∴ ∠APE = 120° (Ans.)

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, AB ∥ CD এবং EF তাদের ছেদক
∴ ∠BPE = ∠PQD [অনুরূপ কোণ]
বা, 60° = 2∠PQR [∵ QR, ∠PQD এর সমদ্বিখন্ডক ∴ 2∠PQR = ∠PQD]
বা, ∠PQR = 60°/2
∴ ∠PQR = 30° (Ans.)

'খ' হতে পাই, ∠PQR = 30°
আবার, ∠BPE + ∠BPQ = 180° [রৈখিক যুগল কোণ]
বা, 60° + ∠BPQ = 180°
বা, ∠BPQ = 180° − 60°
বা, 2∠QPR = 120° [∵ PR, ∠BPQ-এর সমদ্বিখন্ডক]
বা, ∠QPR = 120°/2
∴ ∠QPR = 60°

এখন, ΔPQR ত্রিভুজ হতে পাই,
∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180°
বা, 30° + 60° + ∠PRQ = 180°
বা, ∠PRQ = 180° − 30° − 60°
∴ ∠PRQ = 90°।
∴ ΔPQR-এর একটি কোণ 90°।
∴ ΔPQR-একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)