প্রমাণ কর যে, $\cos \left(\frac{17\mathrm{\pi }}{10}\right)+ \cos \left(\frac{13\mathrm{\pi }}{10}\right)+ \cos \left(\frac{9\mathrm{\pi }}{10}\right)+ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{10}\right)= 0$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য BC = 7 সে.মি. এবং সবচেয়ে ছোট কোণ $\angle$BAC = 15°

ত্রিভুজটির অতিভুজ AB = ?

এখন, $△$ABC হতে পাই,

$\sin \angle BAC=\frac{BC}{AB}$

বা, $\sin 15°= \frac{7}{AB}$

বা, $AB = \frac{7}{\sin 15°}$

বা, $AB = 7\sqrt{6}+ 7\sqrt{2}= 7 \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$=7\left(\sqrt{3} . \sqrt{2} + \sqrt{2}\right)= 7\sqrt{2} \left(\sqrt{3}+1\right)$

= $\frac{7\sqrt{2} \left(\sqrt{3}+ 1\right) \left(\sqrt{3} - 1\right)}{\sqrt{3} - 1}$

$=7\sqrt{2} \frac{\left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1\right\}}{\sqrt{3}-1}=\frac{7\sqrt{2}\times 2}{\sqrt{3}-1}$

$\therefore$ $AB=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}- 1}$

$\therefore$ ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য $\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}- 1}$ সে. মি.।

$\cos \left(-\frac{25\mathrm{\pi }}{3}\right)=\cos \left(\frac{25\mathrm{\pi }}{3}\right)$

$= \cos \left(8\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

$= \cos \left(16 \times \frac{\mathrm{\pi }}{2}+ \frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

এখানে, n = 16 এবং $\left(16 \times \frac{\mathrm{\pi }}{2} +\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

$\cos \left(16\times \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)= \cos \frac{\mathrm{\pi }}{3} = \frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান :  $\frac{1}{2}$

$\tan \left(-\frac{25\mathrm{\pi }}{6}\right)$ = $- \tan \left(\frac{25\mathrm{\pi }}{6}\right)$

= $- \tan \left(4\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

$= - \tan \left(8 \times \frac{\mathrm{\pi }}{2} + \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

এখানে, n = 8 এবং, $\left(8\times \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$ প্রথম চতুর্ভাগে, অবস্থিত।

= $- \tan \left(8 \times \frac{\mathrm{\pi }}{2} +\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)= - \tan \frac{\mathrm{\pi }}{6}= - \frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $- \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \frac{7\mathrm{\pi }}{6}=\tan \left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right) = \tan \frac{\mathrm{\pi }}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sin \left(- {750}^{°}\right) = - \sin {750}^{°}$

$= - \sin (8 \times 90°+ 30°)$

$=- \sin 30°=-\frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান : $-\frac{1}{2}$

$\tan \left(-\frac{11\mathrm{\pi }}{6}\right)$ = $- \tan \left(\frac{11\mathrm{\pi }}{6}\right)$

$=-\tan \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

$=-\tan \left(-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right) = \tan \frac{\mathrm{\pi }}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{\sqrt{3}}$