প্রমাণ কর যে, MN+MF>2MR.

উদ্দীপকে প্রদত্ত ত্রিভুজের ভূমি a = 5 সে.মি.।

সুতরাং, $\frac{a}{2}$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে, যার ব্যাসার্ধ হবে \(r = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ সে.মি.}\)।

আমাদেরকে এই বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হয়।

অঙ্কনের বিবরণ:

১. প্রথমে, O কেন্দ্র করে 2.5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকি।

২. স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হওয়ায়, স্পর্শবিন্দুদ্বয়ে অঙ্কিত ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ হবে $180°-60°=120°$।

৩. বৃত্তের পরিধির উপর যে কোনো একটি বিন্দু A নেই এবং OA যোগ করি।

৪. O বিন্দুতে OA রেখাংশের সাথে $120°$ কোণ করে OB ব্যাসার্ধ আঁকি, যেন $\angle \text{AOB}=120°$ হয়।

৫. A ও B বিন্দুতে OA ও OB এর উপর যথাক্রমে AP ও BP লম্ব আঁকি।

৬. AP ও BP রেখাংশদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

৭. তাহলে, AP ও BP হলো নির্ণেয় দুইটি স্পর্শক যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle \text{APB}=60°$।

গণিতের একটি মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তটিতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা হলে, স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হয়।

এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য, স্পর্শবিন্দু দুটিতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ এবং বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্রগামী রেখাংশ বিবেচনা করা হয়। এই রেখাংশগুলো দুটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। এই ত্রিভুজদ্বয়কে রাইট-হাইপোটেনাস-সাইড (RHS) সর্বসমতা সূত্র ব্যবহার করে সর্বসম প্রমাণ করা যায়। সর্বসমতার ফলস্বরূপ, ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু হিসেবে স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যও সমান হয়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, \(P\) বিন্দুটি \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু এবং \(PM\) ও \(PN\) হলো \(P\) বিন্দু থেকে উক্ত পরিবৃত্তে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক। উপরোক্ত উপপাদ্য অনুসারে, যেহেতু \(PM\) এবং \(PN\) একই বহিঃস্থ বিন্দু \(P\) থেকে পরিবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, তাই তাদের দৈর্ঘ্য সমান হবে। সুতরাং, প্রমাণ করা যায় যে, \(PM = PN\)।