প্রমাণ কর যে, $p = \sqrt{5}+2$

দেওয়া আছে:
\(A = 2, B = 3, C = 5\) এবং \(D = 7\)

প্রদত্ত রাশি:
\(\frac{A^{2x+1} \cdot B^{2x+y} \cdot C^{x+y} \cdot (AB)^x}{B^{x-2} \cdot (AB)^{2x+2} \cdot (AC)^x \cdot (BC)^y}\)

মান বসিয়ে পাই:
\(= \frac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot (2 \cdot 3)^x}{3^{x-2} \cdot (2 \cdot 3)^{2x+2} \cdot (2 \cdot 5)^x \cdot (3 \cdot 5)^y}\)

\(= \frac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot 2^x \cdot 3^x}{3^{x-2} \cdot 2^{2x+2} \cdot 3^{2x+2} \cdot 2^x \cdot 5^x \cdot 3^y \cdot 5^y}\)

\(= \frac{2^{2x+1+x} \cdot 3^{2x+y+x} \cdot 5^{x+y}}{2^{2x+2+x} \cdot 3^{x-2+2x+2+y} \cdot 5^{x+y}}\)

\(= \frac{2^{3x+1} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}{2^{3x+2} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}\)

\(= 2^{(3x+1) - (3x+2)} \cdot 3^{(3x+y) - (3x+y)} \cdot 5^{(x+y) - (x+y)}\)

\(= 2^{3x+1 - 3x - 2} \cdot 3^0 \cdot 5^0\)

\(= 2^{-1} \cdot 1 \cdot 1\)

\(= \frac{1}{2}\)

নির্ণেয় মান: \(\frac{1}{2}\)

ধাপে ধাপে সমাধান করি—

(iii) থেকে শুরু করি:

ধরি, x = a + 2

তাহলে,
$x+\frac{1}{x}=5$

এখন আমরা ধারাবাহিকভাবে মান বের করি—

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x}{)}^2-2=5^2-2=23$

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})=5\times 23-5=110$

$x^4+\frac{1}{x^4}=5\times 110-23=527$

$x^5+\frac{1}{x^5}=5\times 527-110=2525$

সুতরাং প্রমাণিত:

$(a+2{)}^5+\frac{1}{(a+2{)}^5}=2525$

প্রমাণিত।

প্রদত্ত রাশি,  5^2X+1 =(125)^x-3

বা, 5^2X+1=(5³)^x-3

বা, 5^2x+1=5^3x-9

বা, 2x+1=3x-9

বা,2x-3x=-9-1

বা,-x=-10

অতএব,X=10 (Ans)