প্রমাণ কর যে, $p^4{q}^4{r}^4\left(\frac{1}{p^6}+\frac{1}{q^6}+\frac{1}{r^6}\right)=p^6+q^6+r^6$

একই. এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা যে ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তাকে রাশিদ্বয়ের অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি এ ও ৮ এর অনুপাতকে a : b =  $\frac{a}{b}$ লেখা হয় । a ও b রাশি  দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হয়। অনুপাতটিতে a কে পূর্বরাশি এবং b কে উত্তর রাশি বলা হয়।

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 'তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, d এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a : b = c : d ।  সমানুপাতের, চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি একজাতীয় হলেই চলে।

এখানে,

ত্রিভুজদ্বয়ের ভূমি x ও y এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h

প্রথম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $=\frac{1}{2}$xh

এবং দ্বিতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। $=\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা = $\frac{1}{2}$ yh

ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলম্বয়ের অনুপাত = $\frac{1}{2}$ xh : $\frac{1}{2}$yh = x : y

ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

দেওয়া আছে, দুইটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে m একক এবং n একক।

তাহলে, বর্গ দুইটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}m$ একক এবং $\sqrt{2}n$ একক

তাদের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = $\sqrt{2}m :\sqrt{ 2}n = m : n$

নির্ণেয় কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = m : n.

এখানে, আয়তদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের প্রস্থ с.

প্রথম আয়তের ক্ষেত্রফল  = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ= a $\times$ c = ac

এবং দ্বিতীয় আয়তের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = b $\times$ c = bc

আয়তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ac : bc = a : b

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত a : b.

এখানে, প্রথম রম্বসের কর্ণদ্বয় a ও b

এবং দ্বিতীয় রম্বসের কর্ণদ্বয়  c ও d

প্রথম রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times a\times b$

= $\frac{1}{2}ab$

দ্বিতীয় রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= $\frac{1}{2}\times c\times d$

= $\frac{1}{2}cd$

রম্বসদ্বয়ের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = $\frac{1}{2}ab$ :  $\frac{1}{2}cd$ = ab : cd

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ab : cd.