প্রমাণ কর যে,$Q =\frac{ 3}{2}$

প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\)। এটি একটি কিউবিক সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল।

আমাদের লক্ষ্য হলো, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) ধারাটির মান নির্ণয় করা, যেখানে \(n = 10\)।

### **সূত্র:**
ধারা \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) এর যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি প্রমাণিত সূত্র রয়েছে:

\[
S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

এখানে, \(S\) হলো ধারাটির যোগফল এবং \(n\) হলো শেষ সংখ্যাটি।

### **ধারার জন্য প্রয়োগ:**

এখানে \(n = 10\)।

\[
S = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2
\]

প্রথমে ভিতরের অংশটি নির্ণয় করি:

\[
\frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55
\]

এখন \(55\) এর বর্গ করি:

\[
S = 55^2 = 3025
\]

 **উত্তর:** তাহলে, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) এর মান হলো **3025**।

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রমাণ করতে হবে যে,

\(a^3 + \frac{8}{a^3} = 28\sqrt{5}\)

বামপক্ষ \( = a^3 + \frac{8}{a^3} \)

\( = (a)^3 + (\frac{2}{a})^3 \)

আমরা জানি, \(x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)

এখানে \(x=a\) এবং \(y=\frac{2}{a}\) ধরলে,

\(a^3 + (\frac{2}{a})^3 = (a + \frac{2}{a})^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{2}{a} (a + \frac{2}{a})\)

\( = (a + \frac{2}{a})^3 - 6(a + \frac{2}{a})\)

এখন, আমরা \(a + \frac{2}{a}\) এর মান বের করব।

প্রথমে \( \frac{1}{a} \) এর মান বের করি:

\( \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \)

\( = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} \)

\( = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} \)

\( = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} \)

\( = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)

সুতরাং, \( \frac{2}{a} \) এর মান হবে:

\( \frac{2}{a} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)

\( = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)

এখন, \( a + \frac{2}{a} \) এর মান বের করি:

\( a + \frac{2}{a} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \)

\( = \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3} \)

\( = 2\sqrt{5} \)

\(a + \frac{2}{a}\) এর মান আমরা পূর্বের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\( a^3 + \frac{8}{a^3} = (2\sqrt{5})^3 - 6(2\sqrt{5}) \)

\( = (2^3 \cdot (\sqrt{5})^3) - 12\sqrt{5} \)

\( = (8 \cdot 5\sqrt{5}) - 12\sqrt{5} \)

\( = 40\sqrt{5} - 12\sqrt{5} \)

\( = (40 - 12)\sqrt{5} \)

\( = 28\sqrt{5} \)

সুতরাং, বামপক্ষ \( = 28\sqrt{5} = \) ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

Y= √5-√2
⇨1/y = (√5+√2)/3
⇨3/y= √5+√2
⇨y+3/y= 2√5
y^3+(3/y)^3
= (y+3/y)^3-3y.3/y(y+3/y)
= (2√5)^3- 9(2√5)
=40√5-18√5

= 22√5