প্রমাণ কর যে,$Q =\frac{ 3}{2}$

প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\)। এটি একটি কিউবিক সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল।

আমাদের লক্ষ্য হলো, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) ধারাটির মান নির্ণয় করা, যেখানে \(n = 10\)।

### **সূত্র:**
ধারা \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) এর যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি প্রমাণিত সূত্র রয়েছে:

\[
S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

এখানে, \(S\) হলো ধারাটির যোগফল এবং \(n\) হলো শেষ সংখ্যাটি।

### **ধারার জন্য প্রয়োগ:**

এখানে \(n = 10\)।

\[
S = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2
\]

প্রথমে ভিতরের অংশটি নির্ণয় করি:

\[
\frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55
\]

এখন \(55\) এর বর্গ করি:

\[
S = 55^2 = 3025
\]

 **উত্তর:** তাহলে, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) এর মান হলো **3025**।

দেওয়া আছে, $a^2=5+2\sqrt{6}$

বা, $a^2=3+2\sqrt{6}+2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}.\sqrt{2}={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$

বা, $a =\sqrt{3}+\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{a}= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

বা, $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$

$\therefore \frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2.}$

ক-হতে প্রাপ্ত, $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ এবং $\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

এখন, $a + \frac{1}{a}= \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) +\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$

$a^2+\frac{1}{a^2}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2 .a.\frac{1}{a}={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2=12-2=10$

$a^3+\frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3 . a.\frac{1}{a} \left(a+\frac{1}{a}\right)$

$={\left(2\sqrt{3}\right)}^3-3\times 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$

বামপক্ষ $=\left(\frac{a^{10+1}}{a^5}\right)=a^5+\frac{1}{a^5}$

                                         $= \left(a^2+\frac{1}{a^2}\right) \left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)-\left(a+\frac{1}{a}\right)=10\times 18\sqrt{3}-2\sqrt{3}$

                                          $= 180\sqrt{3}-2\sqrt{3}=178\sqrt{3}$ = ডানপক্ষ

$\frac{a^{10+1}}{a^5}=178\sqrt{3}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x =\sqrt{3}+\sqrt{2}$

       বা, $\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

     $\therefore x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$

এখন, $P=x^3+\frac{1}{x^3}$

                $=(x{)}^3+{\left(\frac{1}{x}\right)}^3$

                 $={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)$

                   $={\left(2\sqrt{3}\right)}^3-3\times 2\sqrt{3}$

                   $=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$

$\therefore P = 18\sqrt{3.}$ (প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি $=m^3-3m^2+3m-2$

                   $=m^3-3m^2.l+3m.l^2-l^3-1$

                    $=(m-1{)}^3-1$

                      $=(m-1-1)\left\{\right(m-1{)}^2+(m-1)+1\}$

                        $=(m-2)(m^2-2m+1+m-1+1)$

                         $=(m-2)(m^2-m+1).$