প্রমাণ কর, $△$BOC ও $△$DOE সদৃশ।

অনুপাত ও সমানুপাতের তিনটি ধর্ম হলো:

(i) a : b=x : y এবংc : d=x : y হলে, a : b= c : d হবে।

(ii) a : b=b : a হলে, ab হবে।

(iii) a : b=c : d হলে, ad=bc (আড়গুনন)

অনুপাত ও সমানুপাতের যোজন বিয়োজন সম্পর্কিত ধর্ম হলো:

(i) a : b= x : y হলে, a+b : b= x+y : y হবে। (যোজন) এবং a : b=x : y হলে, a-b : b=x-y : y হবে। (বিয়োজন)

$\left(ii\right)\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$হলে $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$[যোজন ও বিয়োজন]

অনুপাত ও সমানুপাতের ব্যস্তকরণ ধর্মটি হলো:

a : b=x : y হলে, b : a=y : x হবে এবং অনুপাত ও সমানুপাতের একান্তরকরণ ধর্মটি হলো: a : b=x : y হলে a : x=b : y হবে।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC ও DEF এর ভূমি যথাক্রমে BC = a, EF=d এবং উভয় ক্ষেত্রের উচ্চতা h.

সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times a\times h$

ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times d\times h$

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল

সুতরাং, দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের উচ্চতা সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হবে।

এখানে,$∆$ABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

$\therefore ∆ABQ=\frac{1}{2}\left(∆ABC\right)$.

আবার, $∆APQ=\frac{1}{2}\left(∆ABQ\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(∆ABC\right)\right]$

বা, $\frac{1}{4}\times \left(∆ABC\right)=∆APQ$

বা, $\frac{∆ABC}{∆APQ}=\frac{4}{1}$

$\therefore$$∆ABC : ∆APQ= 4 :1$

নির্ণেয় অনুপাত 4 : 1.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে এর অর্ধেক।

অর্থাৎ $EF=\frac{1}{2}BC$

বা, $2EF=BC$

বা, $\frac{2}{1}=\frac{BC}{EF}$

$\therefore$ $BC : EF = 2 : 1$

নির্ণেয় অনুপাত 2 : 1.