প্রমাণ কর $\left(-\cos \theta ,\cos \theta \right)$ এবং $(1, 1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল $={\left(\cos ec \theta -cot \theta \right)}^2$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

সরলরেখার ঢালঃ কোনো সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্ট (tangent) কে ঢাল বলা হয়।

চিত্রে AB সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে ৪ কোণ উৎপন্ন করেছে।

$\therefore$ রেখাটির ঢাল,  $m=\tan \theta =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

মরে করি, XY-সমতলে A(x₁, y₁) এবং B(x₂, y₂) দুইটি বিন্দু। চিত্রানুসারে, A ও B বিন্দুগামী AB রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করেছে।

A ও B বিন্দু হতে X-অক্ষের উপর যথাক্রমে AM ও BN লম্ব টানি।

আবার, $BN\perp AC$ আঁকি।

এখন, $∆ABC$ হতে, AB রেখার ঢাল, $m=\tan \theta =\frac{BC}{AC}$$=\frac{ y_2-y_1}{ x_2-x_1}$

(x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দুগামী রেখার ঢাল $=\frac{ y_2-y_1}{ x_2-x_1}$ (দেখানো হলো)

ধরি, A(8, 4) এবং B(- 4, 6)

AB সরলরেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{6-4}{-4-8}$

$=\frac{2}{-12}$

$=-\frac{1}{6}$

অতএব, AB সরলরেখার ঢাল $-\frac{1}{6}$

প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(- 3,4) এবং Q(- 4, 2)

PQ রেখার ঢাল $=\frac{2-4}{-4-\left(-3\right)}$

$=\frac{-2}{-4+3}=\frac{-2}{-1}=2$

নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল 2.

দেওয়া আছে, P(11,5) ও Q (- 2, 5)

PQ রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{5-5}{-2-11}$

$=\frac{0}{-13}$

$=0$

নির্ণেয় PQ রেখার ঢাল 0.

এখানে, A (a, 0) এবং B(0, b)

AB রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$=\frac{b-0}{0-a}$= $-\frac{b}{a}$

নির্ণেয় AB রেখার ঢাল $-\frac{b}{a}$