সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

সরলরেখার ঢালঃ কোনো সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্ট (tangent) কে ঢাল বলা হয়।

চিত্রে AB সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে ৪ কোণ উৎপন্ন করেছে।

$\therefore$ রেখাটির ঢাল,  $m=\tan \theta =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

মরে করি, XY-সমতলে A(x₁, y₁) এবং B(x₂, y₂) দুইটি বিন্দু। চিত্রানুসারে, A ও B বিন্দুগামী AB রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করেছে।

A ও B বিন্দু হতে X-অক্ষের উপর যথাক্রমে AM ও BN লম্ব টানি।

আবার, $BN\perp AC$ আঁকি।

এখন, $∆ABC$ হতে, AB রেখার ঢাল, $m=\tan \theta =\frac{BC}{AC}$$=\frac{ y_2-y_1}{ x_2-x_1}$

(x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দুগামী রেখার ঢাল $=\frac{ y_2-y_1}{ x_2-x_1}$ (দেখানো হলো)

ধরি, A(8, 4) এবং B(- 4, 6)

AB সরলরেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{6-4}{-4-8}$

$=\frac{2}{-12}$

$=-\frac{1}{6}$

অতএব, AB সরলরেখার ঢাল $-\frac{1}{6}$

প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(- 3,4) এবং Q(- 4, 2)

PQ রেখার ঢাল $=\frac{2-4}{-4-\left(-3\right)}$

$=\frac{-2}{-4+3}=\frac{-2}{-1}=2$

নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল 2.

দেওয়া আছে, P(11,5) ও Q (- 2, 5)

PQ রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{5-5}{-2-11}$

$=\frac{0}{-13}$

$=0$

নির্ণেয় PQ রেখার ঢাল 0.

এখানে, A (a, 0) এবং B(0, b)

AB রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$=\frac{b-0}{0-a}$= $-\frac{b}{a}$

নির্ণেয় AB রেখার ঢাল $-\frac{b}{a}$

এখানে, A (t, t + 1) এবং B(3t, 5t + 1) বিন্দুগামী রেখার

ঢাল $=\frac{5t+1-\left(t-1\right)}{3t-t}$

$=\frac{5t+1-t-1}{2t}$

$=\frac{4t}{2t}$

$=2$

নির্ণেয় ঢাল 2.

$\left(-\cos \theta ,\cos \theta \right)$ ও $\left(1,1\right)$ বিন্দুগামী সংযোজক সরলরেখার

ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$

$=\frac{\left(1-\cos \theta \right) \left(1-\cos \theta \right)}{\left(1+\cos \theta \right) \left(1-\cos \theta \right)}$

$=\frac{{\left(1-\cos \theta \right)}^2}{1-{\cos }^2\theta }$

$=\frac{{\left(1-\cos \theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }={\left(\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\right)}^2$

$={\left(\frac{1}{\sin \theta }-\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\right)}^2$

$={\left(\cos ec \theta -cot \theta \right)}^2$

$\therefore$ ঢাল$={\left(\cos ec \theta -cot \theta \right)}^2$ (প্রমানিত)

(4, 5) এবং (2, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-5}{x-4}=\frac{5-3}{4-2}$

বা, $\frac{y-5}{x-4}=\frac{2}{2}$

বা, $\frac{y-5}{x-4}=1$

বা, $x - 4 = y - 5$

বা, $x - 4 - y + 5 + 0$

$\therefore$ $x - y + 1 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ  $x - y + 1 = 0$

আমরা জানি, $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

এখানে, $x_1=3, y_1=-3, x_2=4, y_2=-2$

ঢাল $=\frac{-2-\left(-3\right)}{4-3}=-\frac{-2+3}{1}=1$

নির্ণেয় ঢাল = 1.

মনে করি, মূলবিন্দু (0, 0) এবং একটি বিন্দু P(4,0)

$\therefore$ OP সংযোগ রেখার ঢাল, $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$=\frac{0-0}{4-0}=\frac{0}{4}=0$

দেওয়া আছে, M(1, - 3) ও N(4, 6) দুইটি বিন্দু।

সুতরাং, MN সরলরেখার ঢাল $m =\frac{6-\left(-3\right)}{4-1}=\frac{6+3}{3}=3$

নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল 3.

A(6, 8r) এবং (5, r² - 2) বিন্দুগামী রেখার ঢাল

$=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{8r-r^2+2}{6-5}$

$=-r^2+8r+2$

শর্তমতে,  $-r{ }^2+8r+2=2$

বা, $-r^2+8r=0$

বা, $r^2-8r=0$

বা, $r(r - 8) = 0$

$r = 0$  অথবা $8$

নির্ণেয় মান: r = 0 অথবা 8.

দেওয়া আছে,

(-3,-6) ও (t, 2t) একই সরলরেখার উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দু।

দেওয়া আছে, সরলরেখাটির ঢাল= 1

প্রশ্নমতে, $\frac{2t-\left(-6\right)}{t-\left(-3\right)}=1$

বা, $\frac{2t+6}{t+3}=1$

বা, $2t + 6 = t + 3$

বা, $2t - t = 3 - 6$

$\therefore$ $t = - 3$

নির্ণেয় মান t = - 3

(3, 3m) এবং (4, m² + 1) বিন্দুগামী রেখার ঢাল

$$\begin{gathered} =\frac{m^2+1-3m}{4-3} \\ =\frac{m^2-3m+1}{1} \\ =m^2-3m+1 \end{gathered}$$

প্রশ্নমতে,  $m^2-3m+1=-1$

$m^2-3m+1+1=0$

$m^2-3m+2=0$

$m^2-2m-m+2=0$

$m(m - 2) - 1 (m - 2) = 0$

$(m - 1)(m - 2) = 0$

হয়, $m - 1 = 0$

$\therefore$ $m = 1$

অথবা, $m - 2 = 0$

$\therefore$ $m = 2$

নির্ণেয় মান: m = 1, 2

(0, 3) এবং (a, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল

$=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-6}{a-0}=-\frac{1}{a}$

শর্তমতে, $-\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$

$\therefore$ $a=-4$

নির্ণেয় মান: a = - 4

দেওয়া আছে, P(t,2t) Q(2t, 6t) ও R(3, 8) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

সুতরাং, P, Q ও R বিন্দু দ্বারা গঠিত সরলরেখাংশন্বয়ের ঢাল সমান।

এখন, PQ রেখাংশের ঢাল $=\frac{6t-2t}{2t-t}=\frac{4t}{t}=4$

আবার, QR রেখাংশের ঢাল $=\frac{8-6t}{3-2t}$

যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ, সুতরাং PQ রেখাংশের ঢাল = QR রেখাংশের ঢাল

বা, $4=\frac{8-6t}{3-2t}$

বা, $12 - 8t = 8 - 6t$

বা, $- 8t + 6t = 8 - 12$

বা, $- 2t = - 4$

বা,  $t = \frac{- 4}{-2}$

$\therefore$ $t = 2$

A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, AB রেখার ঢাল BC রেখার ঢাল হবে।

A(3, 2) এবং B(5, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা AB এর ঢাল

$=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{5-3}=\frac{1}{2}$

B(5, 3) এবং C(12,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা BC এর ঢাল

$=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-3}{12-5}=\frac{3}{7}$

যেহেতু AB রেখার ঢাল=  BC রেখার ঢাল। সুতরাং, A, B, C' বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। (দেখানো হলো)

এখানে, A(0, - 3) B(4, - 2) এবং C(16,1) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে AB ও BC রেখার ঢাল সমান হবে।

এখন, AB রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2-\left(-2\right)}{4-0}=\frac{-2+3}{4}=\frac{1}{4}$

আবার, BC রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{1-\left(-2\right)}{16-4}=\frac{1+2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

যেহেতু AB ও BC রেখার ঢাল সমান।

অতএব, A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে AB ও BC রেখাংশের ঢাল সমান হবে।

দেওয়া আছে, বিন্দু তিনটি যথাক্রমে  $A(3, 9) ,B(-2,-16), C\left(\frac{1}{5},-5\right)$

এখন, AB রেখাংশের ঢাল  $=\frac{-16-9}{-2-3}=\frac{-25}{-5}=5$

BC রেখাংশের ঢাল $=\frac{-5-\left(-16\right)}{{\displaystyle \frac{1}{5}}-\left(-2\right)}$

$=\frac{-5+16}{{\displaystyle \frac{1}{5}}+2}$

$=\frac{11}{{\displaystyle \frac{1+10}{5}}}$

$=11\times \frac{5}{11}$

$=5$

যেহেতু AB ও BC রেখাংশের ঢাল সমান। সুতরাং বিন্দু তিনটি সমরেখ। (দেখানো হলো)

মনে করি, P(4, 2), Q(7, 5) ও R(9, 7) যথাক্রমে তিনটি বিন্দু।

এখন, PQ রেখার ঢাল, $m_1=\frac{5-2}{7-4}=\frac{3}{3}=1$

QR রেখার ঢাল, $m_2=\frac{7-5}{9-7}=\frac{2}{2}=1$

যেহেতু PQ রেখার ঢাল = QR রেখার ঢাল = 1

সুতরাং, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করে। (যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, A(- 2, - 1) B(5, 6) ও C(3, 4) তিনটি বিন্দু।

এখন, A ও B বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল, $m_1=\frac{6-\left(-1\right)}{5-\left(-2\right)}=\frac{6+1}{5+2}=\frac{7}{7}=1$

B ও C বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল, $m_2=\frac{4-6}{3-5}=\frac{-2}{-2}=1$

যেহেতু,  ঢাল,  $m_1-m_2=1$

সুতরাং, বিন্দু তিনটি সরলরেখায় অবস্থিত।

A(1, - 1) ও B(2, 2) বিন্দুগামী AB রেখার ঢাল $=\frac{2+1}{2-1}=3$

B(2, 2) ও C(4,x) বিন্দুগামী রেখার ঢাল $=\frac{x-2}{4-2}=\frac{x-2}{2}$

যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ।

সেহেতু AB রেখার ঢাল = BC রেখার ঢাল

বা, $3=\frac{x-2}{2}$

বা, $6 = x - 2$

বা, $x = 6 + 2$

$x = 8$

$\therefore$$x = 8$

নির্ণেয় মান: x = 8