বর্ধিত QO রেখাংশটি বৃত্তের পরিধিকে T বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠QPT = 1 সমকোণ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলো বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ যার চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

মনে করি, কোণদ্বয় x° ও 2x°.

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের পরস্পর বিপরীত কোণ দুইটির সমষ্টি 180°.

$\therefore x°+2x°=180°$

$3x=180°$

$x=\frac{180°}{3}=60$

$x°=60°$

$2x°=2\times 60°=120°$

নির্ণেয় কোণ দুইটির পরিমাণ 60° ও 120°.

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ

$\angle PQR=2\angle PSR$

$\angle PSR=\frac{1}{2}\angle PQR$

PQRS চুর্ভুজে $\angle PQR$ এর বিপরীত কোণ $\angle PSR$

$\angle PQR+\angle PSR=180°$

[বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°]

$\angle PQR+\frac{1}{2}\angle PSR=180°$

$\frac{3}{2}\angle PQR=180°$

$\angle PQR=\frac{2\times 180°}{3}$

$\angle PQR=120°$

নির্ণেয় $\angle PQR$ এর মান $120°$

আমরা জানি, বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়ত। তাই এর প্রতিটি কোণ এক সমকোণ বা 90° এবং AD বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ $\angle$CDE কোণটিও সমকোণ হবে।

$\angle CDE+\angle ABC=90°+90°=180°$

চিত্রে, ABCD বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের $\angle$ABC = $110°$

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180°$

$\angle ADC+\angle ABC=180°$

$\angle ADC+110°=180°$

$\angle ADC=180°-110°=70°$

$\angle ADC=70°$

$∆ABC$এ

$\angle ABC=180°-(\angle CAB+\angle ACB)$

$=180°-(20°+90°)$

[AB ব্যাস, অর্ধবৃত্তস্থ $\angle ABC=90°$]

=$180°-110°=70°$

বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের

$\angle ABC+\angle ADC= 180°$

[ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]

$70°+\angle ADC= 180°$

$\angle ADC= 180°-70°=110°$

যেহেতু, $AD=CD$

$\therefore$ $\angle DAC=\angle ACD$

এখন, $∆ACD$ এ $\angle ADC+\angle ACD+\angle DAC=180°$

$110°+\angle ACD+\angle ACD=180°$

$2\angle ACD=180°-110°=70°$

$\angle ACD=\frac{70°}{2}=35°$